Un globo estérico con radio de \( r \) pulgadas tiene volumen \( V(r)=\frac{4}{3} \pi r^{3} \). Encuentre una función que represente la cantidad de aire necesaria para inflar el globo de un radio de \( r \) pulgadas a un radio \( r+1 \) pulgadas.

Para resolver este problema, primero calculamos el volumen del globo estérico cuando tiene un radio de \( r \) pulgadas y luego calculamos el volumen del globo estérico cuando tiene un radio de \( r+1 \) pulgadas. El volumen del globo estérico con radio \( r \) pulgadas es: \[ V(r) = \frac{4}{3} \pi r^3 \] El volumen del globo estérico con radio \( r+1 \) pulgadas es: \[ V(r+1) = \frac{4}{3} \pi (r+1)^3 \] Para encontrar la cantidad de aire necesaria para inflar el globo de un radio de \( r \) pulgadas a un radio \( r+1 \) pulgadas, calculamos la diferencia entre estos dos volúmenes: \[ \Delta V = V(r+1) - V(r) \] Sustituimos las expresiones para \( V(r) \) y \( V(r+1) \): \[ \Delta V = \frac{4}{3} \pi (r+1)^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 \] Podemos factorizar \( \frac{4}{3} \pi \) fuera de la diferencia: \[ \Delta V = \frac{4}{3} \pi \left[ (r+1)^3 - r^3 \right] \] Ahora expandimos \( (r+1)^3 \): \[ (r+1)^3 = r^3 + 3r^2 + 3r + 1 \] Sustituimos esta expansión en la expresión para \( \Delta V \): \[ \Delta V = \frac{4}{3} \pi \left[ r^3 + 3r^2 + 3r + 1 - r^3 \right] \] Simplificamos la expresión: \[ \Delta V = \frac{4}{3} \pi \left[ 3r^2 + 3r + 1 \right] \] Por lo tanto, la cantidad de aire necesaria para inflar el globo de un radio de \( r \) pulgadas a un radio \( r+1 \) pulgadas es: \[ \Delta V = \frac{4}{3} \pi (3r^2 + 3r + 1) \]