2. Determina el dominio y el rango de las siguientes funciones con algunas restricciones. a) \( f(x)=\frac{x}{x+6} \) b) \( g(x)=\frac{3 x-2}{x-1} \) c) \( f(x)=\frac{x}{x+12} \) d) \( g(x)=\frac{2 x+3}{x-4} \)

Para determinar el dominio y el rango de las funciones dadas, primero identificaremos las restricciones que pueden afectar a cada función. ### a) \( f(x) = \frac{x}{x+6} \) **Dominio:** El denominador no puede ser cero, por lo que: \[ x + 6 \neq 0 \] \[ x \neq -6 \] Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-6\} \] **Rango:** Para encontrar el rango, observamos que la función se puede reescribir como: \[ y = \frac{x}{x+6} \] Multiplicando ambos lados por \( x + 6 \) (asumiendo \( x \neq -6 \)): \[ y(x + 6) = x \] \[ yx + 6y = x \] \[ yx - x = -6y \] \[ x(y - 1) = -6y \] \[ x = \frac{-6y}{y - 1} \] El valor de \( x \) está definido siempre que \( y \neq 1 \). Por lo tanto, el rango es: \[ R_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] ### b) \( g(x) = \frac{3x - 2}{x - 1} \) **Dominio:** El denominador no puede ser cero: \[ x - 1 \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Por lo tanto, el dominio de \( g(x) \) es: \[ D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] **Rango:** Reescribimos la función: \[ y = \frac{3x - 2}{x - 1} \] Multiplicando ambos lados por \( x - 1 \): \[ y(x - 1) = 3x - 2 \] \[ yx - y = 3x - 2 \] \[ yx - 3x = y - 2 \] \[ x(y - 3) = y - 2 \] \[ x = \frac{y - 2}{y - 3} \] El valor de \( x \) está definido siempre que \( y \neq 3 \). Por lo tanto, el rango es: \[ R_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} \] ### c) \( f(x) = \frac{x}{x+12} \) **Dominio:** El denominador no puede ser cero: \[ x + 12 \neq 0 \] \[ x \neq -12 \] Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-12\} \] **Rango:** Reescribimos la función: \[ y = \frac{x}{x + 12} \] Multiplicando ambos lados por \( x + 12 \): \[ y(x + 12) = x \] \[ yx + 12y = x \] \[ yx - x = -12y \] \[ x(y - 1) = -12y \] \[ x = \frac{-12y}{y - 1} \] El valor de \( x \) está definido siempre que \( y \neq 1 \). Por lo tanto, el rango es: \[ R_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] ### d) \( g(x) = \frac{2x + 3}{x - 4} \) **Dominio:** El denominador no puede ser cero: \[ x - 4 \neq 0 \] \[ x \neq 4 \] Por lo tanto, el dominio de \( g(x) \) es: \[ D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\} \] **Rango:** Reescribimos la función: \[ y = \frac{2x + 3}{x - 4} \] Multiplicando ambos lados por \( x - 4 \): \[ y(x - 4) = 2x + 3 \] \[ yx - 4y = 2x + 3 \] \[ yx - 2x = 4y + 3 \] \[ x(y - 2) = 4y + 3 \] \[ x = \frac{4y + 3}{y - 2} \] El valor de \( x \) está definido siempre que \( y \neq 2 \). Por lo tanto, el rango es: \[ R_g = \mathbb{R} \setminus \{2\} \] ### Resumen - **a)** \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-6\} \), \( R_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \) - **b)** \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\} \), \( R_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} \) - **c)** \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-12\} \), \( R_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \) - **d)** \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\} \), \( R_g = \mathbb{R} \setminus \{2\} \)