valor de \( a \) y \( b \) que hace a \( f \) continua en \( t \) \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 x+6 a, & x<-3 \\ 3 a x-7 b & -3 \leq x \leq 3 \\ x-12 b & x>3\end{array}\right. \]

Para que la función \( f(x) \) sea continua en \( t = -3 \) y \( t = 3 \), debemos asegurarnos de que los límites laterales en esos puntos sean iguales al valor de la función en esos puntos. ### Continuidad en \( t = -3 \) 1. **Límite por la izquierda** cuando \( x \to -3 \): \[ \lim_{x \to -3^-} f(x) = 3(-3) + 6a = -9 + 6a \] 2. **Límite por la derecha** cuando \( x \to -3 \): \[ \lim_{x \to -3^+} f(x) = 3a(-3) - 7b = -9a - 7b \] Para que \( f \) sea continua en \( x = -3 \), estos límites deben ser iguales: \[ -9 + 6a = -9a - 7b \] Reorganizando la ecuación: \[ 6a + 9a + 7b = 9 \] \[ 15a + 7b = 9 \quad \text{(Ecuación 1)} \] ### Continuidad en \( t = 3 \) 1. **Límite por la izquierda** cuando \( x \to 3 \): \[ \lim_{x \to 3^-} f(x) = 3a(3) - 7b = 9a - 7b \] 2. **Límite por la derecha** cuando \( x \to 3 \): \[ \lim_{x \to 3^+} f(x) = 3 - 12b \] Para que \( f \) sea continua en \( x = 3 \), estos límites deben ser iguales: \[ 9a - 7b = 3 - 12b \] Reorganizando la ecuación: \[ 9a - 7b + 12b = 3 \] \[ 9a + 5b = 3 \quad \text{(Ecuación 2)} \] ### Resolviendo el sistema de ecuaciones Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 1. \( 15a + 7b = 9 \) (Ecuación 1) 2. \( 9a + 5b = 3 \) (Ecuación 2) Podemos resolver este sistema usando el método de sustitución o eliminación. Vamos a usar eliminación. Multiplicamos la Ecuación 2 por \( 7 \) y la Ecuación 1 por \( 5 \) para igualar los coeficientes de \( b \): \[ 63a + 35b = 21 \quad \text{(Ecuación 2 multiplicada por 7)} \] \[ 75a + 35b = 45 \quad \text{(Ecuación 1 multiplicada por 5)} \] Restamos la primera de la segunda: \[ (75a + 35b) - (63a + 35b) = 45 - 21 \] \[ 12a = 24 \] \[ a = 2 \] Sustituyendo \( a = 2 \) en la Ecuación 2: \[ 9(2) + 5b = 3 \] \[ 18 + 5b = 3 \] \[ 5b = 3 - 18 \] \[ 5b = -15 \] \[ b = -3 \] ### Solución final Los valores que hacen a \( f \) continua en \( t \) son: \[ a = 2, \quad b = -3 \]