Actividad 5 La arena contenida en un reloj de arena ocupa un volumen de \( 567 \mathrm{~cm}^{3} \) y el fabricante indica que la velocidad de caida de la arena es de \( 7 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} \). a) Averigua, ¿Cuánto tarda en haber la misma cantidad de arena en las dos partes del reloj. b) ¿A los cuántos segundos de iniciado el conteo la otra parte del reloj contiene toda la arena? c) Si registramos la variación del volumen de arena en la primera parte del reloj de acuerdo al tiempo transcurrido. ¿Cuâles serian los dalos que aparecerian en la siquiente tabla?

Para resolver las preguntas planteadas, vamos a utilizar la información proporcionada sobre el volumen de arena y la velocidad de caída. ### a) ¿Cuánto tarda en haber la misma cantidad de arena en las dos partes del reloj? El volumen total de arena en el reloj de arena es de \( 567 \, \text{cm}^3 \). Cuando la arena comienza a caer, se distribuye entre las dos partes del reloj. Queremos encontrar el tiempo \( t \) en el que ambas partes tienen la misma cantidad de arena. Dado que la velocidad de caída de la arena es de \( 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \), la cantidad de arena que ha caído en \( t \) segundos es: \[ V(t) = 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \times t \] Para que ambas partes tengan la misma cantidad de arena, cada parte debe tener la mitad del volumen total: \[ \frac{567 \, \text{cm}^3}{2} = 283.5 \, \text{cm}^3 \] Igualamos el volumen que ha caído a \( 283.5 \, \text{cm}^3 \): \[ 7t = 283.5 \] Despejamos \( t \): \[ t = \frac{283.5}{7} \approx 40.5 \, \text{s} \] ### b) ¿A los cuántos segundos de iniciado el conteo la otra parte del reloj contiene toda la arena? La otra parte del reloj contendrá toda la arena cuando toda la arena haya caído. Para calcular el tiempo que tarda en caer todo el volumen de \( 567 \, \text{cm}^3 \): \[ t = \frac{567 \, \text{cm}^3}{7 \, \text{cm}^3/\text{s}} = 81 \, \text{s} \] ### c) Si registramos la variación del volumen de arena en la primera parte del reloj de acuerdo al tiempo transcurrido, ¿cuáles serían los datos que aparecerían en la siguiente tabla? La cantidad de arena en la primera parte del reloj de arena disminuirá a medida que la arena cae. La cantidad de arena en la primera parte en función del tiempo \( t \) se puede expresar como: \[ V_1(t) = 567 - 7t \] Podemos calcular algunos valores para diferentes instantes de tiempo: | Tiempo (s) | Volumen en la primera parte (cm³) | |------------|------------------------------------| | 0 | 567 | | 10 | \( 567 - 7 \times 10 = 497 \) | | 20 | \( 567 - 7 \times 20 = 427 \) | | 30 | \( 567 - 7 \times 30 = 357 \) | | 40 | \( 567 - 7 \times 40 = 287 \) | | 50 | \( 567 - 7 \times 50 = 217 \) | | 60 | \( 567 - 7 \times 60 = 147 \) | | 70 | \( 567 - 7 \times 70 = 77 \) | | 80 | \( 567 - 7 \times 80 = 7 \) | | 81 | \( 567 - 7 \times 81 = 0 \) | Estos son los datos que aparecerían en la tabla.