2) Use la forma polar del número complejo dado para hacer las operaciones que se piden: (Use el Teorema de Moivre) c) Para \( z=-6+i \) calcule \( z^{5} \). d) Para \( w=-1.5 i \) calcule \( w^{10} \).

Para resolver los problemas, primero convertiremos los números complejos a su forma polar y luego aplicaremos el Teorema de Moivre. ### c) Calcular \( z^5 \) para \( z = -6 + i \) 1. **Convertir a forma polar**: - Primero, calculamos el módulo \( r \): \[ r = |z| = \sqrt{(-6)^2 + (1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \] - Luego, calculamos el argumento \( \theta \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{-6}\right) \] Dado que el número complejo está en el segundo cuadrante (parte negativa del eje real y parte positiva del eje imaginario), el argumento es: \[ \theta = \pi + \tan^{-1}\left(-\frac{1}{6}\right) \approx \pi - 0.1651 \approx 3.006 \] - Por lo tanto, la forma polar de \( z \) es: \[ z = \sqrt{37} \left( \cos(3.006) + i \sin(3.006) \right) \] 2. **Aplicar el Teorema de Moivre**: \[ z^5 = r^5 \left( \cos(5\theta) + i \sin(5\theta) \right) \] - Calculamos \( r^5 \): \[ r^5 = (\sqrt{37})^5 = 37^{5/2} = 37^2 \cdot \sqrt{37} = 1369 \sqrt{37} \] - Calculamos \( 5\theta \): \[ 5\theta = 5 \cdot 3.006 \approx 15.03 \] - Entonces: \[ z^5 = 1369 \sqrt{37} \left( \cos(15.03) + i \sin(15.03) \right) \] ### d) Calcular \( w^{10} \) para \( w = -1.5i \) 1. **Convertir a forma polar**: - Primero, calculamos el módulo \( r \): \[ r = |w| = \sqrt{0^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{2.25} = 1.5 \] - Luego, calculamos el argumento \( \theta \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-1.5}{0}\right) = -\frac{\pi}{2} \quad (\text{ya que está en el eje imaginario negativo}) \] - Por lo tanto, la forma polar de \( w \) es: \[ w = 1.5 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) \] 2. **Aplicar el Teorema de Moivre**: \[ w^{10} = r^{10} \left( \cos(10\theta) + i \sin(10\theta) \right) \] - Calculamos \( r^{10} \): \[ r^{10} = (1.5)^{10} = 57.665 \] - Calculamos \( 10\theta \): \[ 10\theta = 10 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -5\pi \] Dado que \( -5\pi \) es equivalente a \( \pi \) (ya que \( -5\pi + 6\pi = \pi \)): \[ \cos(-5\pi) = -1, \quad \sin(-5\pi) = 0 \] - Entonces: \[ w^{10} = 57.665 \left( -1 + 0i \right) = -57.665 \] ### Resumen de resultados: - \( z^5 = 1369 \sqrt{37} \left( \cos(15.03) + i \sin(15.03) \right) \) - \( w^{10} = -57.665 \)