El producto de cuatro enteros positivos diferentes es 400 . ¿Cuál es la suma máxima posible de estos cuatro enteros? Observación: Al escribir tu respuesta usa solo números, no letras.

Para encontrar cuatro enteros positivos diferentes cuyo producto sea 400 y cuya suma sea máxima, primero descomponemos 400 en sus factores primos: \[ 400 = 2^4 \times 5^2 \] Ahora, necesitamos encontrar cuatro enteros positivos diferentes que multiplicados den 400. Para maximizar la suma, es útil elegir factores que estén lo más cerca posible entre sí. Probemos con diferentes combinaciones de factores: 1. **Factores de 400**: - 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400 2. **Combinaciones**: - Una combinación que da 400 es \( 1, 5, 8, 10 \): \[ 1 \times 5 \times 8 \times 10 = 400 \] \[ \text{suma} = 1 + 5 + 8 + 10 = 24 \] - Otra combinación es \( 2, 5, 8, 10 \): \[ 2 \times 5 \times 8 \times 10 = 800 \] (no es válida) - Probemos \( 2, 4, 5, 10 \): \[ 2 \times 4 \times 5 \times 10 = 400 \] \[ \text{suma} = 2 + 4 + 5 + 10 = 21 \] - Probemos \( 4, 5, 8, 10 \): \[ 4 \times 5 \times 8 \times 10 = 1600 \] (no es válida) - Probemos \( 2, 5, 8, 10 \): \[ 2 \times 5 \times 8 \times 10 = 800 \] (no es válida) - Probemos \( 1, 5, 8, 10 \): \[ 1 \times 5 \times 8 \times 10 = 400 \] \[ \text{suma} = 1 + 5 + 8 + 10 = 24 \] - Probemos \( 2, 4, 5, 10 \): \[ 2 \times 4 \times 5 \times 10 = 400 \] \[ \text{suma} = 2 + 4 + 5 + 10 = 21 \] - Probemos \( 1, 2, 5, 40 \): \[ 1 \times 2 \times 5 \times 40 = 400 \] \[ \text{suma} = 1 + 2 + 5 + 40 = 48 \] - Probemos \( 1, 4, 5, 20 \): \[ 1 \times 4 \times 5 \times 20 = 400 \] \[ \text{suma} = 1 + 4 + 5 + 20 = 30 \] - Probemos \( 2, 5, 8, 10 \): \[ 2 \times 5 \times 8 \times 10 = 800 \] (no es válida) - Probemos \( 1, 2, 10, 20 \): \[ 1 \times 2 \times 10 \times 20 = 400 \] \[ \text{suma} = 1 + 2 + 10 + 20 = 33 \] - Probemos \( 1, 5, 8, 10 \): \[ 1 \times 5 \times 8 \times 10 = 400 \] \[ \text{suma} = 1 + 5 + 8 + 10 = 24 \] Después de probar varias combinaciones, la combinación que da la suma máxima es: \[ 1, 5, 8, 10 \] Por lo tanto, la suma máxima posible de estos cuatro enteros es: \[ \boxed{48} \]