в) \( \frac{x^{4}-8 x^{3}+16 x^{2}}{x^{2}-6 x+5} \geqslant 0 \)

Для решения неравенства \[ \frac{x^{4}-8x^{3}+16x^{2}}{x^{2}-6x+5} \geqslant 0 \] начнем с упрощения числителя и знаменателя. ### Шаг 1: Упрощение числителя Числитель можно представить в виде: \[ x^{4} - 8x^{3} + 16x^{2} = x^{2}(x^{2} - 8x + 16) = x^{2}(x - 4)^{2} \] ### Шаг 2: Упрощение знаменателя Знаменатель можно разложить на множители: \[ x^{2} - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) \] ### Шаг 3: Переписывание неравенства Теперь подставим упрощенные выражения в неравенство: \[ \frac{x^{2}(x - 4)^{2}}{(x - 1)(x - 5)} \geqslant 0 \] ### Шаг 4: Определение знаков Теперь определим, при каких значениях \(x\) дробь будет неотрицательной. Для этого найдем нули числителя и знаменателя: - Нули числителя: \(x^{2} = 0\) (то есть \(x = 0\)) и \((x - 4)^{2} = 0\) (то есть \(x = 4\)). - Нули знаменателя: \(x - 1 = 0\) (то есть \(x = 1\)) и \(x - 5 = 0\) (то есть \(x = 5\)). ### Шаг 5: Построение числовой прямой Рассмотрим критические точки: \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = 4\), \(x = 5\). Разделим числовую прямую на интервалы: 1. \( (-\infty, 0) \) 2. \( (0, 1) \) 3. \( (1, 4) \) 4. \( (4, 5) \) 5. \( (5, +\infty) \) ### Шаг 6: Определение знаков на интервалах Теперь проверим знак дроби на каждом интервале: 1. **Интервал \( (-\infty, 0) \)**: - Числитель: положительный (так как \(x^{2} > 0\) и \((x - 4)^{2} > 0\)) - Знаменатель: положительный (так как оба множителя отрицательные) - Дробь: положительная. 2. **Интервал \( (0, 1) \)**: - Числитель: положительный (так как \(x^{2} > 0\) и \((x - 4)^{2} > 0\)) - Знаменатель: отрицательный (первый множитель положительный, второй отрицательный) - Дробь: отрицательная. 3. **Интервал \( (1, 4) \)**: - Числитель: положительный (так как \(x^{2} > 0\) и \((x - 4)^{2} > 0\)) - Знаменатель: положительный (оба множителя положительные) - Дробь: положительная. 4. **Интервал \( (4, 5) \)**: - Числитель: положительный (так как \(x^{2} > 0\) и \((x - 4)^{2} > 0\)) - Знаменатель: отрицательный (первый множитель положительный, второй отрицательный) - Дробь: отрицательная. 5. **Интервал \( (5, +\infty) \)**: - Числитель: положительный (так как \(x^{2} > 0\) и \((x - 4)^{2} > 0\)) - Знаменатель: положительный (оба множителя положительные) - Дробь: положительная. ### Шаг 7: Итоговые значения Теперь подведем итоги: - Дробь положительна на интервалах \( (-\in