Aproxima el valor de \( \sqrt{36.12} \) haciendo uso de diferenciales.

Para aproximar el valor de \( \sqrt{36.12} \) usando diferenciales, primero identificamos un valor cercano a \( 36.12 \) que sea fácil de calcular. En este caso, \( 36 \) es un buen candidato, ya que \( \sqrt{36} = 6 \). Definimos la función \( f(x) = \sqrt{x} \). Luego, calculamos la derivada de \( f \): \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Evaluamos la derivada en \( x = 36 \): \[ f'(36) = \frac{1}{2\sqrt{36}} = \frac{1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{12} \] Ahora, utilizamos la aproximación lineal. La fórmula para la aproximación lineal es: \[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) \] donde \( a = 36 \) y \( x = 36.12 \). Entonces, tenemos: \[ f(36) = 6 \] \[ x - a = 36.12 - 36 = 0.12 \] Sustituyendo en la fórmula de la aproximación: \[ f(36.12) \approx f(36) + f'(36)(36.12 - 36) \] \[ f(36.12) \approx 6 + \frac{1}{12} \cdot 0.12 \] Calculamos \( \frac{1}{12} \cdot 0.12 \): \[ \frac{1}{12} \cdot 0.12 = \frac{0.12}{12} = 0.01 \] Por lo tanto, la aproximación es: \[ f(36.12) \approx 6 + 0.01 = 6.01 \] Así que, usando diferenciales, podemos concluir que: \[ \sqrt{36.12} \approx 6.01 \]