\( \left\{\begin{array}{l}\text { (1) } 3 x+2 y+z=1 \\ 5 x+3 y+4 z=2 \\ \text { (3) } x+y-z=1\end{array}\right. \)

Para resolver el sistema de ecuaciones: \[ \left\{ \begin{array}{l} (1) \quad 3x + 2y + z = 1 \\ (2) \quad 5x + 3y + 4z = 2 \\ (3) \quad x + y - z = 1 \end{array} \right. \] Podemos usar el método de sustitución o eliminación. Vamos a usar el método de eliminación. Primero, despejamos \( z \) de la ecuación (3): \[ z = x + y - 1 \] Ahora sustituimos \( z \) en las ecuaciones (1) y (2). Sustituyendo en (1): \[ 3x + 2y + (x + y - 1) = 1 \] Simplificando: \[ 3x + 2y + x + y - 1 = 1 \\ 4x + 3y - 1 = 1 \\ 4x + 3y = 2 \quad \text{(4)} \] Ahora sustituimos \( z \) en (2): \[ 5x + 3y + 4(x + y - 1) = 2 \] Simplificando: \[ 5x + 3y + 4x + 4y - 4 = 2 \\ 9x + 7y - 4 = 2 \\ 9x + 7y = 6 \quad \text{(5)} \] Ahora tenemos un nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: \[ \left\{ \begin{array}{l} (4) \quad 4x + 3y = 2 \\ (5) \quad 9x + 7y = 6 \end{array} \right. \] Podemos resolver este sistema. Multiplicamos la ecuación (4) por 7 y la ecuación (5) por 3 para eliminar \( y \): \[ \begin{array}{l} (6) \quad 28x + 21y = 14 \\ (7) \quad 27x + 21y = 18 \end{array} \] Restamos (7) de (6): \[ (28x + 21y) - (27x + 21y) = 14 - 18 \\ x = -4 \] Ahora sustituimos \( x = -4 \) en la ecuación (4): \[ 4(-4) + 3y = 2 \\ -16 + 3y = 2 \\ 3y = 18 \\ y = 6 \] Finalmente, sustituimos \( x \) y \( y \) en la ecuación para \( z \): \[ z = -4 + 6 - 1 \\ z = 1 \] Por lo tanto, la solución del sistema es: \[ (x, y, z) = (-4, 6, 1) \]