Ejercitación Representa las siguientes funciones e indica los in- tervalos en los que asciende \( y \) desciende. a. \( f(x)=\left\{\begin{array}{r}2 x+3 \text {, si } x<1 \\ x^{2}+2 x+2, \text { si } 1 \leq x \leq 2 \\ -3, \text { si } x>2\end{array}\right. \) b. \( g(x)=\left\{\begin{array}{r}-2 x-3, \text { si } x<-2 \\ x^{2}+5, \text { si }-2 \leq x \leq 2 \\ -x+5, \text { si } x>2\end{array}\right. \)

Para representar las funciones dadas y determinar los intervalos en los que ascienden y descienden, primero analizaremos cada función por separado. ### a. \( f(x)=\left\{\begin{array}{r}2 x+3 \text {, si } x<1 \\ x^{2}+2 x+2, \text { si } 1 \leq x \leq 2 \\ -3, \text { si } x>2\end{array}\right. \) 1. **Para \( x < 1 \)**: - La función es \( f(x) = 2x + 3 \). - Esta es una función lineal con pendiente positiva (2), por lo que **asciende** en este intervalo. 2. **Para \( 1 \leq x \leq 2 \)**: - La función es \( f(x) = x^2 + 2x + 2 \). - Derivamos para encontrar los extremos: \[ f'(x) = 2x + 2 \] - Igualamos a cero: \[ 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \] - Sin embargo, \( x = -1 \) no está en el intervalo \( [1, 2] \). Evaluamos los extremos del intervalo: \[ f(1) = 1^2 + 2(1) + 2 = 5 \] \[ f(2) = 2^2 + 2(2) + 2 = 10 \] - Como \( f'(x) > 0 \) para \( x \geq 1 \), la función **asciende** en este intervalo. 3. **Para \( x > 2 \)**: - La función es \( f(x) = -3 \), que es constante. Por lo tanto, no asciende ni desciende en este intervalo. **Intervalos de ascenso y descenso**: - **Asciende**: \( (-\infty, 1) \) y \( [1, 2] \) - **Desciende**: No hay intervalos de descenso. ### b. \( g(x)=\left\{\begin{array}{r}-2 x-3, \text { si } x<-2 \\ x^{2}+5, \text { si } -2 \leq x \leq 2 \\ -x+5, \text { si } x>2\end{array}\right. \) 1. **Para \( x < -2 \)**: - La función es \( g(x) = -2x - 3 \). - Esta es una función lineal con pendiente negativa (-2), por lo que **desciende** en este intervalo. 2. **Para \( -2 \leq x \leq 2 \)**: - La función es \( g(x) = x^2 + 5 \). - Derivamos para encontrar los extremos: \[ g'(x) = 2x \] - Igualamos a cero: \[ 2x = 0 \implies x = 0 \] - Evaluamos los extremos del intervalo: \[ g(-2) = (-2)^2 + 5 = 9 \] \[ g(0) = 0^2 + 5 = 5 \] \[ g(2) = 2^2 + 5 = 9 \] - La función **asciende** en \( [-2, 0] \) y **desciende** en \( [0, 2] \). 3. **Para \( x > 2 \)**: - La función es \( g(x) = -x + 5 \). - Esta es una función lineal con pendiente negativa (-1), por lo que **desciende** en este intervalo. **Intervalos de ascenso y descenso**: - **Asciende**: \( [-2, 0] \) - **Desciende**: \( (-\infty, -2) \), \( [0, 2] \) y \( (2, \infty) \) ### Resumen: - **Función \( f(x) \)**: - Asciende: \( (-\infty, 1) \) y \( [1, 2] \) - Desciende: Ninguno - **Función \( g(x) \)**: - Asciende: \( [-2, 0] \) - Desciende: \( (-\infty, -2) \), \( [0, 2] \) y \( (2, \infty) \)