(b) ¿Cuál es el gráfico de \( h(x)=\frac{3 x+6}{x^{2}-16} \) ?

Para graficar la función \( h(x) = \frac{3x + 6}{x^2 - 16} \), primero analizaremos sus características. 1. **Dominio**: La función está definida para todos los valores de \( x \) excepto donde el denominador es cero. Por lo tanto, debemos resolver la ecuación \( x^2 - 16 = 0 \): \[ x^2 = 16 \implies x = 4 \quad \text{o} \quad x = -4 \] Así que el dominio de \( h(x) \) es \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\} \). 2. **Intersecciones**: - **Intersección con el eje \( y \)**: Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos \( h(0) \): \[ h(0) = \frac{3(0) + 6}{0^2 - 16} = \frac{6}{-16} = -\frac{3}{8} \] Por lo tanto, la intersección con el eje \( y \) es \( (0, -\frac{3}{8}) \). - **Intersección con el eje \( x \)**: Para encontrar la intersección con el eje \( x \), igualamos \( h(x) = 0 \): \[ \frac{3x + 6}{x^2 - 16} = 0 \implies 3x + 6 = 0 \implies 3x = -6 \implies x = -2 \] Así que la intersección con el eje \( x \) es \( (-2, 0) \). 3. **Asintotas**: - **Asintotas verticales**: Como el denominador se anula en \( x = -4 \) y \( x = 4 \), hay asintotas verticales en estos puntos. - **Asintota horizontal**: Para determinar la asintota horizontal, observamos el comportamiento de \( h(x) \) cuando \( x \) tiende a \( \infty \) o \( -\infty \): \[ h(x) \approx \frac{3x}{x^2} = \frac{3}{x} \to 0 \quad \text{cuando} \quad x \to \pm \infty \] Por lo tanto, hay una asintota horizontal en \( y = 0 \). 4. **Comportamiento cerca de las asintotas**: - Al acercarse a \( x = -4 \) desde la izquierda, \( h(x) \to +\infty \) y desde la derecha \( h(x) \to -\infty \). - Al acercarse a \( x = 4 \) desde la izquierda, \( h(x) \to -\infty \) y desde la derecha \( h(x) \to +\infty \). 5. **Gráfico**: Con toda esta información, podemos esbozar el gráfico de \( h(x) \): - La función tiene una intersección en \( (0, -\frac{3}{8}) \) y \( (-2, 0) \). - Hay asintotas verticales en \( x = -4 \) y \( x = 4 \). - Hay una asintota horizontal en \( y = 0 \). El gráfico de \( h(x) \) tendrá dos ramas, una en el cuadrante II y otra en el cuadrante I, con las asintotas verticales y horizontal que hemos mencionado. Si necesitas un gráfico visual, puedes usar software de graficación como Desmos, GeoGebra o una calculadora gráfica para trazar la función con los puntos y características que hemos discutido.