Greene Ward
11/08/2023 · Elementary School
8.- Al reducir \( -3 \ln (2)+2 \ln (5)-\frac{1}{3} \ln (x)+\frac{5}{7} \log (y) \) a un único logaritmo se
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Para reducir la expresión \( -3 \ln (2) + 2 \ln (5) - \frac{1}{3} \ln (x) + \frac{5}{7} \log (y) \) a un único logaritmo, utilizaremos las propiedades de los logaritmos.
1. **Propiedad de la suma**: \( \ln(a) + \ln(b) = \ln(ab) \)
2. **Propiedad de la resta**: \( \ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right) \)
3. **Propiedad de la multiplicación por un escalar**: \( k \ln(a) = \ln(a^k) \)
Ahora, aplicamos estas propiedades a la expresión:
\[
-3 \ln(2) = \ln(2^{-3}) = \ln\left(\frac{1}{2^3}\right) = \ln\left(\frac{1}{8}\right)
\]
\[
2 \ln(5) = \ln(5^2) = \ln(25)
\]
\[
-\frac{1}{3} \ln(x) = \ln(x^{-\frac{1}{3}}) = \ln\left(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\right)
\]
\[
\frac{5}{7} \log(y) = \ln(y^{\frac{5}{7}}) \quad \text{(asumiendo que log es logaritmo natural)}
\]
Ahora, sustituimos estas expresiones en la original:
\[
\ln\left(\frac{1}{8}\right) + \ln(25) + \ln\left(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\right) + \ln(y^{\frac{5}{7}})
\]
Usamos la propiedad de la suma de logaritmos:
\[
= \ln\left(\frac{1}{8} \cdot 25 \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot y^{\frac{5}{7}}\right)
\]
Simplificamos la expresión dentro del logaritmo:
\[
= \ln\left(\frac{25y^{\frac{5}{7}}}{8x^{\frac{1}{3}}}\right)
\]
Por lo tanto, la expresión original reducida a un único logaritmo es:
\[
\ln\left(\frac{25y^{\frac{5}{7}}}{8x^{\frac{1}{3}}}\right)
\]
Quick Answer
La expresión reducida a un único logaritmo es \( \ln\left(\frac{25y^{\frac{5}{7}}}{8x^{\frac{1}{3}}}\right) \).
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