\( 2 \int _ { b } ^ { 9 } \sqrt { ( t + 1 ) ^ { 2 } + 1 } \)

Para resolver la integral \( 2 \int _ { b } ^ { 9 } \sqrt { ( t + 1 ) ^ { 2 } + 1 } \, dt \), primero simplificamos la expresión dentro de la raíz. La integral se puede reescribir como: \[ 2 \int _ { b } ^ { 9 } \sqrt { ( t + 1 ) ^ { 2 } + 1 } \, dt \] Para resolver esta integral, podemos usar una sustitución trigonométrica o una técnica de integración directa. Sin embargo, primero observemos que: \[ \sqrt{(t + 1)^2 + 1} = \sqrt{(t + 1)^2 + 1^2} \] Esto sugiere que podríamos usar una sustitución trigonométrica, pero en este caso, es más sencillo resolver la integral directamente. La integral se puede resolver utilizando la fórmula de la integral de la raíz cuadrada de una suma de cuadrados. La integral de la forma \( \int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx \) tiene una solución conocida. Sin embargo, en este caso, la integral no tiene una forma elemental simple, por lo que se puede evaluar numéricamente o mediante software de cálculo simbólico. Si deseas un resultado numérico específico, necesitaríamos un valor para \( b \). ¿Te gustaría que evaluara la integral para un valor específico de \( b \)?