\( = 2 \int _ { 0 } ^ { 8 } \sqrt { t ^ { 2 } + 2 t + 2 } \)

Para resolver la integral \( 2 \int _ { 0 } ^ { 8 } \sqrt { t ^ { 2 } + 2 t + 2 } \, dt \), primero simplificamos la expresión dentro de la raíz. La expresión \( t^2 + 2t + 2 \) se puede reescribir completando el cuadrado: \[ t^2 + 2t + 2 = (t^2 + 2t + 1) + 1 = (t + 1)^2 + 1 \] Por lo tanto, la integral se convierte en: \[ 2 \int _ { 0 } ^ { 8 } \sqrt{(t + 1)^2 + 1} \, dt \] Ahora, podemos usar una sustitución trigonométrica para resolver la integral. Sea \( t + 1 = \tan(\theta) \), entonces \( dt = \sec^2(\theta) \, d\theta \) y la integral se transforma en: \[ 2 \int \sqrt{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) \, d\theta = 2 \int \sec(\theta) \sec^2(\theta) \, d\theta = 2 \int \sec^3(\theta) \, d\theta \] La integral de \( \sec^3(\theta) \) se puede resolver usando la fórmula: \[ \int \sec^3(\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \sec(\theta) \tan(\theta) + \frac{1}{2} \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) | + C \] Ahora, debemos cambiar los límites de integración. Cuando \( t = 0 \), \( \tan(\theta) = 1 \) lo que implica que \( \theta = \frac{\pi}{4} \). Cuando \( t = 8 \), \( \tan(\theta) = 9 \) lo que implica que \( \theta = \tan^{-1}(9) \). Por lo tanto, la integral se evalúa de \( \frac{\pi}{4} \) a \( \tan^{-1}(9) \): \[ 2 \left[ \frac{1}{2} \sec(\theta) \tan(\theta) + \frac{1}{2} \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) | \right] \bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\tan^{-1}(9)} \] Finalmente, evaluamos en los límites y simplificamos para obtener el resultado final.