I. Halle el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las curvas y rectas dadas, alrededor del eje indicado. Utilice el Método de capas cilíndricas (o corteza cilindrica). \( y=|x-2|+1, y=-1, x=0, x=3 \); alrededor de a) \( x=0 \), b) \( x=-1 \)

Para calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las curvas y rectas dadas alrededor de los ejes indicados, utilizaremos el método de capas cilíndricas. ### Curvas y Límites Las curvas y rectas que delimitan la región son: - \( y = |x - 2| + 1 \) - \( y = -1 \) - \( x = 0 \) - \( x = 3 \) Primero, analicemos la función \( y = |x - 2| + 1 \): - Para \( x < 2 \), \( y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 \). - Para \( x \geq 2 \), \( y = (x - 2) + 1 = x - 1 \). ### Intersecciones Para encontrar los puntos de intersección entre \( y = |x - 2| + 1 \) y \( y = -1 \): 1. Para \( x < 2 \): \[ -x + 3 = -1 \implies x = 4 \quad (\text{fuera del rango } [0, 3]) \] 2. Para \( x \geq 2 \): \[ x - 1 = -1 \implies x = 0 \quad (\text{fuera del rango } [0, 3]) \] Por lo tanto, la región está acotada entre \( x = 0 \) y \( x = 3 \). ### a) Volumen alrededor de \( x = 0 \) El volumen \( V \) usando el método de capas cilíndricas se calcula como: \[ V = 2\pi \int_{a}^{b} (radio)(altura) \, dx \] Donde: - El radio es la distancia desde el eje de rotación \( x = 0 \) hasta la curva, que es \( x \). - La altura es la diferencia entre la función superior y la inferior. Para \( 0 \leq x < 2 \): - Superior: \( y = -x + 3 \) - Inferior: \( y = -1 \) La altura es: \[ h = (-x + 3) - (-1) = -x + 4 \] Para \( 2 \leq x \leq 3 \): - Superior: \( y = x - 1 \) - Inferior: \( y = -1 \) La altura es: \[ h = (x - 1) - (-1) = x \] Por lo tanto, el volumen se calcula como: \[ V = 2\pi \left( \int_{0}^{2} x(-x + 4) \, dx + \int_{2}^{3} x(x) \, dx \right) \] Calculamos cada integral: 1. Para \( \int_{0}^{2} x(-x + 4) \, dx \): \[ = \int_{0}^{2} (-x^2 + 4x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2\right]_{0}^{2} = \left[-\frac{8}{3} + 8\right] = \frac{16}{3} \] 2. Para \( \int_{2}^{3} x^2 \, dx \): \[ = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{2}^{3} = \left[\frac{27}{3} - \frac{8}{3}\right] = \frac{19}{3} \] Sumando las integrales: \[ V = 2\pi \left( \frac{16}{3} + \frac{19}{3} \right) = 2\pi \left( \frac{35}{3} \right) = \frac{70\pi}{3} \] ### b) Volumen alrededor de \( x = -1 \) Ahora, el radio es \( x + 1 \) y la altura sigue siendo la misma. El volumen se calcula como: \[ V = 2\pi \int_{0}^{3} (x + 1) h \, dx \] Para \( 0 \leq x < 2 \): \[ h = -x + 4 \] Para \( 2 \leq x \leq 3 \): \[ h = x \] Por lo tanto, el volumen se calcula como: \[ V =