Ointep pede, à Haula, para elaborar uma questão; que envolva uma função seno: Qual é o conjunto formado pela imagem da função \[ \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{4-\operatorname{sen}(\mathrm{x})} \text { ? } \]

Para determinar o conjunto imagem da função \( f(x) = \frac{1}{4 - \sin(x)} \), precisamos analisar o comportamento da função em relação ao valor da função seno. 1. **Intervalo da função seno**: A função \( \sin(x) \) varia entre -1 e 1 para todos os valores de \( x \). Portanto, temos: \[ -1 \leq \sin(x) \leq 1 \] 2. **Substituindo na função**: Agora, substituímos os valores extremos de \( \sin(x) \) na expressão \( 4 - \sin(x) \): - Quando \( \sin(x) = -1 \): \[ 4 - \sin(x) = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \] - Quando \( \sin(x) = 1 \): \[ 4 - \sin(x) = 4 - 1 = 3 \] 3. **Intervalo de \( 4 - \sin(x) \)**: Assim, o valor de \( 4 - \sin(x) \) varia entre 3 e 5: \[ 3 \leq 4 - \sin(x) \leq 5 \] 4. **Analisando a função \( f(x) \)**: A função \( f(x) \) é uma função racional, e como o denominador \( 4 - \sin(x) \) varia entre 3 e 5, podemos determinar os valores que \( f(x) \) pode assumir: - Quando \( 4 - \sin(x) = 3 \): \[ f(x) = \frac{1}{3} \] - Quando \( 4 - \sin(x) = 5 \): \[ f(x) = \frac{1}{5} \] 5. **Intervalo da função \( f(x) \)**: Como \( 4 - \sin(x) \) varia de 3 a 5, a função \( f(x) \) irá variar de \( \frac{1}{5} \) a \( \frac{1}{3} \). Portanto, o conjunto imagem da função \( f(x) \) é: \[ \left[ \frac{1}{5}, \frac{1}{3} \right] \] Assim, a resposta para a questão é que o conjunto formado pela imagem da função \( f(x) = \frac{1}{4 - \sin(x)} \) é: \[ \left[ \frac{1}{5}, \frac{1}{3} \right] \]