1- Para las siguientes funciones analizar y componer en caso de ser posible \( t=h \circ(g \circ f) \) De dominio e imagen de la función compuesta. \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{-x}} ; g(x)=\ln x \quad ; h(x)=x^{2}+1 \]

Para analizar y componer las funciones dadas \( t = h \circ (g \circ f) \), primero debemos determinar el dominio de cada función y luego proceder con la composición. ### Paso 1: Análisis de las funciones 1. **Función \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{-x}} \)** - **Dominio**: Para que \( f(x) \) esté definida, el argumento de la raíz cuadrada debe ser negativo, es decir, \( -x > 0 \) o \( x < 0 \). Además, \( \sqrt{-x} \) no puede ser cero, por lo que \( x \) no puede ser igual a 0. Por lo tanto, el dominio de \( f \) es \( (-\infty, 0) \). - **Imagen**: La función \( f(x) \) toma valores positivos, ya que el numerador es 1 y el denominador es siempre positivo para \( x < 0 \). Por lo tanto, la imagen de \( f \) es \( (0, +\infty) \). 2. **Función \( g(x) = \ln x \)** - **Dominio**: La función logaritmo natural está definida para \( x > 0 \). Por lo tanto, el dominio de \( g \) es \( (0, +\infty) \). - **Imagen**: La imagen de \( g \) es \( (-\infty, +\infty) \) porque el logaritmo puede tomar cualquier valor real. 3. **Función \( h(x) = x^2 + 1 \)** - **Dominio**: La función \( h \) es un polinomio, por lo que está definida para todos los números reales. Su dominio es \( (-\infty, +\infty) \). - **Imagen**: La imagen de \( h \) es \( [1, +\infty) \) porque el mínimo valor de \( x^2 \) es 0, lo que hace que el mínimo valor de \( h(x) \) sea 1. ### Paso 2: Composición de funciones Ahora, vamos a componer las funciones: 1. **Composición \( g \circ f \)** - Para que \( g(f(x)) \) esté definida, necesitamos que \( f(x) \) esté en el dominio de \( g \). Dado que el dominio de \( g \) es \( (0, +\infty) \) y la imagen de \( f \) es \( (0, +\infty) \), podemos componer \( g \circ f \). - Entonces, \( g(f(x)) = g\left(\frac{1}{\sqrt{-x}}\right) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{-x}}\right) = -\frac{1}{2} \ln(-x) \). - **Dominio de \( g \circ f \)**: El dominio de \( g \circ f \) es el mismo que el dominio de \( f \), que es \( (-\infty, 0) \). - **Imagen de \( g \circ f \)**: Como \( f(x) \) toma valores en \( (0, +\infty) \), \( g(f(x)) \) tomará valores en \( (-\infty, +\infty) \). 2. **Composición \( h \circ (g \circ f) \)** - Ahora, necesitamos que \( g \circ f \) esté en el dominio de \( h \). Dado que el dominio de \( h \) es \( (-\infty, +\infty) \), podemos componer \( h \circ (g \circ f) \). - Entonces, \( h(g(f(x))) = h\left(-\frac{1}{2} \ln(-x)\right) = \left(-\frac{1}{2} \ln(-x)\right)^2 + 1 \). - **Dominio de \( h \circ (g \circ f) \)**: El dominio de \( h \circ (g \circ f) \) es el mismo que el dominio de \( g \circ f \), que es \( (-\infty, 0) \). - **Imagen de \( h \circ (g \circ f) \)**: Dado que \( g(f(x)) \) puede tomar cualquier valor real, \( h(g(f(x))) \) tomará valores en \( [1, +\infty) \) porque el término cuadrático siempre es no negativo y se suma 1. ### Resumen - **Dominio de \( t = h \circ (g \circ f) \)**: \( (-\infty, 0) \) - **Imagen de \( t = h \circ (g \circ f) \)**: \( [1, +\infty) \) Por lo tanto, la función compuesta \( t \) está bien definida y tiene el dominio e imagen especificados.