\( \sqrt[3]{\frac{x^{2}-2 x}{1-x}} \) fouction innationnelle

Pour analyser la fonction \( f(x) = \sqrt[3]{\frac{x^{2}-2x}{1-x}} \), nous devons examiner le domaine de définition et les points critiques. 1. **Domaine de définition** : La fonction est définie lorsque le dénominateur n'est pas nul, c'est-à-dire \( 1 - x \neq 0 \) ou \( x \neq 1 \). De plus, le numérateur \( x^2 - 2x \) peut être factorisé en \( x(x - 2) \). Ainsi, le numérateur est nul pour \( x = 0 \) et \( x = 2 \). En résumé, la fonction est définie pour tous les réels sauf \( x = 1 \). 2. **Analyse des signes** : - Pour \( x < 0 \) : \( x^2 - 2x > 0 \) et \( 1 - x > 0 \) donc \( f(x) > 0 \). - Pour \( 0 < x < 1 \) : \( x^2 - 2x < 0 \) et \( 1 - x > 0 \) donc \( f(x) < 0 \). - Pour \( 1 < x < 2 \) : \( x^2 - 2x < 0 \) et \( 1 - x < 0 \) donc \( f(x) > 0 \). - Pour \( x > 2 \) : \( x^2 - 2x > 0 \) et \( 1 - x < 0 \) donc \( f(x) < 0 \). 3. **Points critiques** : - \( f(0) = \sqrt[3]{0} = 0 \) - \( f(2) = \sqrt[3]{0} = 0 \) - La fonction n'est pas définie en \( x = 1 \). 4. **Comportement aux limites** : - Lorsque \( x \to 1^- \), \( f(x) \to -\infty \). - Lorsque \( x \to 1^+ \), \( f(x) \to +\infty \). 5. **Graphique** : La fonction présente une discontinuité en \( x = 1 \) et change de signe autour de ce point. Elle est croissante dans les intervalles où elle est définie. En résumé, la fonction \( f(x) = \sqrt[3]{\frac{x^{2}-2x}{1-x}} \) est définie pour \( x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \), avec des points critiques en \( x = 0 \) et \( x = 2 \), et une discontinuité en \( x = 1 \).