Las comunidades de playa de San Clemente y Long BQach están a 41 millas entre sl, a lo largo de un tramo relativamente recto de costa. En la figura se muestra el triángulo formado por las dos ciudades y la población de Avalon en la esquina sudeste de la isla de Santa Catalina. Se tiene que los ángulos \( \overline{A L S} \) y \( \widehat{A S I} \) miden \( 66.4^{\circ} \) y \( 47.2^{\prime} \), respectivamente (Swokowsky \& Cole, 2012). - a. Calcule la distancia ce Avalon a cada una de las dos ciudades. - b. Calcule la distarnia mos corta de Avalon a la costa.

Para resolver este problema, utilizaremos el teorema de los ángulos del triángulo y la trigonometría. Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso. ### a. Calcule la distancia de Avalon a cada una de las dos ciudades. 1. **Ángulos del triángulo:** - \( \angle ALS = 66.4^\circ \) - \( \angle ASI = 47.2^\circ \) - \( \angle LAS = 180^\circ - \angle ALS - \angle ASI = 180^\circ - 66.4^\circ - 47.2^\circ = 66.4^\circ \) 2. **Distancia entre San Clemente y Long Beach:** - \( c = 41 \) millas 3. **Aplicación del teorema de los ángulos del triángulo:** - \( \frac{a}{\sin \angle LAS} = \frac{b}{\sin \angle ASI} = \frac{c}{\sin \angle ALS} \) Donde: - \( a \) es la distancia de Avalon a San Clemente - \( b \) es la distancia de Avalon a Long Beach Entonces: - \( \frac{a}{\sin 66.4^\circ} = \frac{b}{\sin 47.2^\circ} = \frac{41}{\sin 66.4^\circ} \) 4. **Calculo de \( a \) y \( b \):** - \( a = \frac{41 \cdot \sin 66.4^\circ}{\sin 66.4^\circ} = 41 \) millas - \( b = \frac{41 \cdot \sin 47.2^\circ}{\sin 66.4^\circ} \) Calculando: - \( \sin 66.4^\circ \approx 0.9205 \) - \( \sin 47.2^\circ \approx 0.7314 \) Entonces: - \( b = \frac{41 \cdot 0.7314}{0.9205} \approx 36.5 \) millas ### b. Calcule la distancia más corta de Avalon a la costa. Para encontrar la distancia más corta de Avalon a la costa, podemos usar el teorema de Pitágoras en el triángulo formado por Avalon, San Clemente y Long Beach. 1. **Distancia de Avalon a la costa de San Clemente:** - \( d_{SC} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2} \) - \( d_{SC} = \sqrt{41^2 - \left(\frac{41}{2}\right)^2} \) - \( d_{SC} = \sqrt{1681 - 841.5} \) - \( d_{SC} = \sqrt{839.5} \) - \( d_{SC} \approx 29.0 \) millas 2. **Distancia de Avalon a la costa de Long Beach:** - \( d_{LB} = \sqrt{b^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2} \) - \( d_{LB} = \sqrt{36.5^2 - \left(\frac{41}{2}\right)^2} \) - \( d_{LB} = \sqrt{1332.25 - 841.5} \) - \( d_{LB} = \sqrt{490.75} \) - \( d_{LB} \approx 22.0 \) millas La distancia más corta de Avalon a la costa es de aproximadamente 22.0 millas, lo que corresponde a la distancia a Long Beach. ### Resumen de resultados: - Distancia de Avalon a San Clemente: 41.0 millas - Distancia de Avalon a Long Beach: 36.5 millas - Distancia más corta de Avalon a la costa: 22.0 millas (a Long Beach)