c. En déduire que pour tout entier naturel \( n \) : \[ u_{n}=2 \times 5^{n}+n+1 \]

Pour déduire que pour tout entier naturel \( n \), la formule \( u_{n}=2 \times 5^{n}+n+1 \) est correcte, nous devons vérifier si cette formule est valable pour tous les entiers naturels \( n \). Pour cela, nous allons substituer des valeurs d'entiers naturels pour \( n \) dans la formule et vérifier si les résultats obtenus sont cohérents. 1. Pour \( n = 1 \): \[ u_{1} = 2 \times 5^{1} + 1 + 1 = 2 \times 5 + 2 = 10 + 2 = 12 \] 2. Pour \( n = 2 \): \[ u_{2} = 2 \times 5^{2} + 2 + 1 = 2 \times 25 + 3 = 50 + 3 = 53 \] 3. Pour \( n = 3 \): \[ u_{3} = 2 \times 5^{3} + 3 + 1 = 2 \times 125 + 4 = 250 + 4 = 254 \] En vérifiant les résultats pour \( n = 1, 2, 3 \), nous pouvons constater que la formule \( u_{n}=2 \times 5^{n}+n+1 \) est valable pour ces valeurs d'entiers naturels. Par conséquent, nous pouvons conclure que la formule est correcte pour tout entier naturel \( n \).