\( y=9^{x+\frac{1}{2}}-4 \cdot 3^{x}+1 \quad(26 \) מצא בתרגילים הבאים את נקוד

כדי למצוא את נקודת החיתוך של הפונקציה \( y = 9^{x+\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 \) עם ציר ה-x, נצטרך לקבוע את הערכים של \( x \) עבורם \( y = 0 \). נחלק את הפונקציה לשני חלקים: 1. נזכור ש- \( 9^{x+\frac{1}{2}} = (3^2)^{x+\frac{1}{2}} = 3^{2x + 1} \). 2. נציב זאת בפונקציה: \[ y = 3^{2x + 1} - 4 \cdot 3^{x} + 1 \] כעת, נציב \( z = 3^x \). אז \( 3^{2x} = z^2 \) ו- \( 3^{2x + 1} = 3 \cdot z^2 \). הפונקציה הופכת להיות: \[ y = 3z^2 - 4z + 1 \] כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה-x, נציב \( y = 0 \): \[ 3z^2 - 4z + 1 = 0 \] נשתמש בנוסחת השורשים כדי למצוא את \( z \): \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \] נחשב את הדיסקרימיננטה: \[ b^2 - 4ac = 16 - 12 = 4 \] עכשיו נחשב את השורשים: \[ z = \frac{4 \pm 2}{6} \] נמצא את השורשים: 1. \( z_1 = \frac{6}{6} = 1 \) 2. \( z_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) כעת, נזכור ש- \( z = 3^x \), ולכן: 1. עבור \( z_1 = 1 \): \[ 3^x = 1 \implies x = 0 \] 2. עבור \( z_2 = \frac{1}{3} \): \[ 3^x = \frac{1}{3} \implies x = -1 \] לכן, נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-x הן \( x = 0 \) ו- \( x = -1 \).