7. El producto de dos polinomios es \( \left(x^{2}-1\right)^{2} y \) el cociente de su MCM yMCD es \( (x-1)^{2} \). Calcular el MCD. \( \begin{array}{lll}\text { a) } x+1 & \text { b) } x^{2}+1 & \text { c) }(x+1)^{2} \\ \text { d) }(x-1)^{2} & \text { e) } x-1 & \end{array} \)

Para resolver el problema, utilizaremos la relación entre el MCM (mínimo común múltiplo) y el MCD (máximo común divisor) de dos polinomios. La relación es la siguiente: \[ \text{MCM}(A, B) \cdot \text{MCD}(A, B) = A \cdot B \] Donde \( A \) y \( B \) son los dos polinomios que estamos considerando. Dado que el producto de los dos polinomios es \( (x^2 - 1)^2 y \), podemos factorizar \( x^2 - 1 \): \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] Por lo tanto, el producto se puede reescribir como: \[ (x^2 - 1)^2 = ((x - 1)(x + 1))^2 = (x - 1)^2 (x + 1)^2 \] Así que el producto de los dos polinomios es: \[ (x - 1)^2 (x + 1)^2 y \] Ahora, sabemos que el cociente de su MCM y MCD es \( (x - 1)^2 \): \[ \frac{\text{MCM}(A, B)}{\text{MCD}(A, B)} = (x - 1)^2 \] Llamemos \( \text{MCD}(A, B) = d \) y \( \text{MCM}(A, B) = m \). Entonces, podemos escribir: \[ \frac{m}{d} = (x - 1)^2 \implies m = d \cdot (x - 1)^2 \] Sustituyendo en la relación del MCM y MCD: \[ d \cdot (x - 1)^2 \cdot d = (x - 1)^2 (x + 1)^2 y \] Esto se simplifica a: \[ d^2 (x - 1)^2 = (x - 1)^2 (x + 1)^2 y \] Dividiendo ambos lados por \( (x - 1)^2 \) (asumiendo que \( x \neq 1 \)): \[ d^2 = (x + 1)^2 y \] De aquí, podemos deducir que: \[ d = \sqrt{(x + 1)^2 y} = (x + 1) \sqrt{y} \] Para que \( d \) sea un polinomio, \( \sqrt{y} \) debe ser un polinomio, lo que implica que \( y \) debe ser un cuadrado perfecto. Sin embargo, no tenemos información adicional sobre \( y \). Dado que el MCD debe ser un divisor de \( (x - 1)^2 (x + 1)^2 y \) y también debe ser un polinomio que se puede expresar en términos de \( x \), consideramos las opciones dadas: - a) \( x + 1 \) - b) \( x^2 + 1 \) - c) \( (x + 1)^2 \) - d) \( (x - 1)^2 \) - e) \( x - 1 \) Dado que el MCD debe ser un divisor de \( (x - 1)^2 (x + 1)^2 \), y considerando que el cociente de MCM y MCD es \( (x - 1)^2 \), podemos deducir que el MCD debe incluir el factor \( (x + 1) \). La opción que más se ajusta a esto es: \[ \text{c) } (x + 1)^2 \] Por lo tanto, la respuesta correcta es: \[ \boxed{(x + 1)^2} \]