Hallar el punto del plano \( \pi: x+2 y-3 z-8=0 \) que eote máa cerco del punto \( \rho(1,1,3) \).

Para encontrar el punto en el plano \( \pi: x + 2y - 3z - 8 = 0 \) que está más cerca del punto \( \rho(1, 1, 3) \), podemos utilizar el método de la proyección ortogonal. 1. **Identificar el plano y el punto**: - El plano está definido por la ecuación \( x + 2y - 3z - 8 = 0 \). - El punto es \( \rho(1, 1, 3) \). 2. **Encontrar el vector normal del plano**: - La ecuación del plano se puede escribir en la forma \( ax + by + cz + d = 0 \), donde \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \) y \( d = -8 \). - El vector normal \( \mathbf{n} \) del plano es \( \mathbf{n} = (1, 2, -3) \). 3. **Encontrar la proyección del punto sobre el plano**: - La distancia desde un punto \( P_0(x_0, y_0, z_0) \) hasta el plano se puede calcular usando la fórmula: \[ d = \frac{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - En este caso, \( P_0 = (1, 1, 3) \): \[ d = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 3 - 8}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} = \frac{1 + 2 - 9 - 8}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{-14}{\sqrt{14}} = -\sqrt{14} \] - La distancia es negativa, lo que indica que el punto está por encima del plano. 4. **Calcular el punto de proyección**: - La proyección del punto \( P_0 \) sobre el plano se puede encontrar moviendo el punto en la dirección del vector normal \( \mathbf{n} \) por una distancia \( d \): \[ P = P_0 - d \cdot \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|} \] - Primero, calculamos \( |\mathbf{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{14} \). - Entonces, el vector unitario en la dirección de \( \mathbf{n} \) es: \[ \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|} = \left( \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}} \right) \] - Ahora, movemos el punto \( P_0 \) en la dirección de \( \mathbf{n} \): \[ P = (1, 1, 3) - (-\sqrt{14}) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}} \right) \] \[ P = (1, 1, 3) + (1, 2, -3) = (1 + 1, 1 + 2, 3 - 3) = (2, 3, 0) \] 5. **Verificar que el punto está en el plano**: - Sustituyendo \( (2, 3, 0) \) en la ecuación del plano: \[ 2 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 - 8 = 2 + 6 - 8 = 0 \] - El punto \( (2, 3, 0) \) satisface la ecuación del plano. Por lo tanto, el punto del plano \( \pi \) que está más cerca del punto \( \rho(1, 1, 3) \) es \( \boxed{(2, 3, 0)} \).