8 Tracer un triangle \( A B C \) isocèle en \( A \). Soit [A t) la bissectrice de l'angle extérieur à \( \widehat{A} \). Montrer que les droites \( (A ~ t) \) et \( (B C) \) sont paral- lèles.

Pour démontrer que les droites \( (A t) \) et \( (B C) \) sont parallèles, nous allons utiliser les propriétés des angles et des bissectrices. 1. **Définition du triangle isocèle** : Soit \( A B C \) un triangle isocèle en \( A \), ce qui signifie que \( AB = AC \). 2. **Angles du triangle** : Notons \( \alpha = \angle A B C \) et \( \beta = \angle A C B \). Comme \( AB = AC \), nous avons \( \alpha = \beta \). 3. **Angle extérieur** : La bissectrice de l'angle extérieur à \( \widehat{A} \) est la droite \( (A t) \). L'angle extérieur à \( A \) est donné par \( \angle A' = \angle A B C + \angle A C B = \alpha + \beta = 2\alpha \). 4. **Bissectrice de l'angle extérieur** : La bissectrice de cet angle extérieur \( \angle A' \) divise cet angle en deux angles égaux. Ainsi, l'angle formé par la bissectrice \( (A t) \) et la droite \( (A B) \) est \( \alpha \), et l'angle formé par la bissectrice \( (A t) \) et la droite \( (A C) \) est également \( \alpha \). 5. **Angles alternés internes** : Puisque \( (A t) \) est la bissectrice de l'angle extérieur, cela signifie que les angles formés par \( (A t) \) et \( (B C) \) sont égaux aux angles \( \alpha \) et \( \beta \) respectivement. En d'autres termes, l'angle \( \angle A t B \) est égal à \( \angle A C B \) et l'angle \( \angle A t C \) est égal à \( \angle A B C \). 6. **Conclusion** : Comme les angles \( \angle A t B \) et \( \angle A C B \) sont égaux, et que les angles \( \angle A t C \) et \( \angle A B C \) sont également égaux, cela signifie que les droites \( (A t) \) et \( (B C) \) sont parallèles par le critère des angles alternés internes. Ainsi, nous avons montré que les droites \( (A t) \) et \( (B C) \) sont parallèles.