11. You drink a beverage with 120 mg of caffeine. Each hour, the caffeine in your system decreases by about $$ 12 \% $$. How long until you have 10 mg of caffeine?

Question

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20시간 22분 후에 카페인이 10mg가 됩니다. 카페인이 120mg에서 시작하여 매시간 12%씩 감소한다고 가정할 때, 10mg의 카페인이 남을 때까지 걸리는 시간을 계산해 보겠습니다. 카페인의 양은 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있습니다: $$ C(t) = C_0 \times (1 - r)^t $$ 여기서: - $$ C(t) $$는 t시간 후의 카페인 양 - $$ C_0 $$는 초기 카페인 양 (120mg) - $$ r $$은 감소율 (0.12) - $$ t $$는 시간 (시간 단위) 우리는 $$ C(t) = 10 $$mg이 될 때의 t를 찾고자 합니다. 수식을 대입하면: $$ 10 = 120 \times (1 - 0.12)^t $$ $$ 10 = 120 \times 0.88^t $$ 양변을 120으로 나누면: $$ \frac{10}{120} = 0.88^t $$ $$ \frac{1}{12} = 0.88^t $$ 이제 양변의 로그를 취합니다: $$ \log\left(\frac{1}{12}\right) = t \cdot \log(0.88) $$ t를 구하기 위해 양변을 $$\log(0.88)$$로 나누면: $$ t = \frac{\log\left(\frac{1}{12}\right)}{\log(0.88)} $$ 이제 계산해 보겠습니다: 1. $$\log\left(\frac{1}{12}\right) \approx -1.07918$$ 2. $$\log(0.88) \approx -0.05307$$ 따라서: $$ t \approx \frac{-1.07918}{-0.05307} \approx 20.36 $$ 결과적으로, 약 20.36시간 후에 카페인 양이 10mg에 도달합니다. 즉, 약 20시간 22분 후에 카페인이 10mg이 됩니다.

11. You drink a beverage with 120 mg of caffeine. Each hour, the caffeine in your system decreases by about \( 12 \% \). How long until you have 10 mg of caffeine?

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