q) \( \square 9^{x}=3^{x+1} \) (de tres formas)

Para resolver la ecuación \( 9^x = 3^{x+1} \) de tres formas diferentes, primero podemos reescribir \( 9 \) en términos de \( 3 \): 1. **Forma 1: Reescribiendo la base** Sabemos que \( 9 = 3^2 \), por lo que podemos reescribir la ecuación: \[ (3^2)^x = 3^{x+1} \] Esto se simplifica a: \[ 3^{2x} = 3^{x+1} \] Como las bases son iguales, podemos igualar los exponentes: \[ 2x = x + 1 \] Restando \( x \) de ambos lados: \[ 2x - x = 1 \implies x = 1 \] 2. **Forma 2: Usando logaritmos** Tomamos logaritmos en ambos lados de la ecuación original: \[ \log(9^x) = \log(3^{x+1}) \] Usando la propiedad de los logaritmos \( \log(a^b) = b \log(a) \): \[ x \log(9) = (x + 1) \log(3) \] Reescribimos \( \log(9) \) como \( \log(3^2) = 2 \log(3) \): \[ x (2 \log(3)) = (x + 1) \log(3) \] Dividiendo ambos lados por \( \log(3) \) (asumiendo que \( \log(3) \neq 0 \)): \[ 2x = x + 1 \] Resolviendo para \( x \): \[ 2x - x = 1 \implies x = 1 \] 3. **Forma 3: Sustitución directa** Podemos hacer una sustitución directa. Sea \( y = 3^x \). Entonces, \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = y^2 \). La ecuación se convierte en: \[ y^2 = 3 \cdot y \] Reorganizando: \[ y^2 - 3y = 0 \] Factorizando: \[ y(y - 3) = 0 \] Esto nos da dos soluciones: \[ y = 0 \quad \text{o} \quad y = 3 \] Dado que \( y = 3^x \), la solución \( y = 0 \) no es válida (ya que \( 3^x \) nunca es cero). Por lo tanto, tenemos: \[ 3^x = 3 \] Lo que implica: \[ x = 1 \] En resumen, en las tres formas hemos encontrado que la solución es: \[ \boxed{1} \]