$$ \operatorname { Sec } ^ { 2 } \alpha ( 1 - \cos ^ { 2 } \alpha ) = \operatorname { Tg } ^ { 2 } \alpha $$

Question

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Demostramos que $$ \sec^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = \tan^2 \alpha $$ usando identidades trigonométricas básicas. Para demostrar la identidad $$ \sec^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = \tan^2 \alpha $$, comenzamos recordando algunas identidades trigonométricas fundamentales. Sabemos que: 1. $$ \sec^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ 2. $$ \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $$ 3. La identidad pitagórica: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$, lo que implica que $$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $$. Ahora, sustituyamos $$ 1 - \cos^2 \alpha $$ en la expresión original: $$ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $$ Sustituyendo esto en la ecuación: $$ \sec^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = \sec^2 \alpha \sin^2 \alpha $$ Ahora, sustituimos $$ \sec^2 \alpha $$: $$ \sec^2 \alpha \sin^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \sin^2 \alpha $$ Esto se puede simplificar a: $$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha $$ Por lo tanto, hemos demostrado que: $$ \sec^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = \tan^2 \alpha $$ Así que la identidad es verdadera.

\( \operatorname { Sec } ^ { 2 } \alpha ( 1 - \cos ^ { 2 } \alpha ) = \operatorname { Tg } ^ { 2 } \alpha \)

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\( \operatorname { Sec } ^ { 2 } \alpha ( 1 - \cos ^ { 2 } \alpha ) = \operatorname { Tg } ^ { 2 } \alpha \)

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