Observe la siguiente expresión \( f^{\prime \prime}(x)-\sec (x) f^{\prime}(x)-\sec (x) \tan (x)(\sec (x)+\tan (x)) \) cuál de las siguientes opciones para la función \( f(x) \) la anula (es decir que al reemplazar en la expresión anterior da cero).

Para resolver la expresión dada: \[ f^{\prime \prime}(x) - \sec(x) f^{\prime}(x) - \sec(x) \tan(x)(\sec(x) + \tan(x)) \] buscamos una función \( f(x) \) tal que al sustituirla en la expresión anterior, el resultado sea cero. Una opción común para este tipo de problemas es probar con funciones que involucren las funciones trigonométricas presentes en la expresión, en este caso, \( \sec(x) \) y \( \tan(x) \). Una función que se puede considerar es: \[ f(x) = \sec(x) \] Ahora, calculemos las derivadas necesarias: 1. La primera derivada \( f'(x) \): \[ f'(x) = \sec(x) \tan(x) \] 2. La segunda derivada \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(\sec(x) \tan(x)) = \sec(x) \tan^2(x) + \sec^3(x) \] Ahora sustituimos \( f(x) \), \( f'(x) \) y \( f''(x) \) en la expresión original: \[ f^{\prime \prime}(x) - \sec(x) f^{\prime}(x) - \sec(x) \tan(x)(\sec(x) + \tan(x)) \] Sustituyendo: \[ \left( \sec(x) \tan^2(x) + \sec^3(x) \right) - \sec(x) (\sec(x) \tan(x)) - \sec(x) \tan(x)(\sec(x) + \tan(x)) \] Simplificamos cada término: 1. El primer término es \( \sec(x) \tan^2(x) + \sec^3(x) \). 2. El segundo término es \( \sec^2(x) \tan(x) \). 3. El tercer término se expande como \( \sec^2(x) \tan(x) + \sec(x) \tan^2(x) \). Ahora, combinamos todos los términos: \[ \sec(x) \tan^2(x) + \sec^3(x) - \sec^2(x) \tan(x) - \sec^2(x) \tan(x) - \sec(x) \tan^2(x) \] Los términos \( \sec(x) \tan^2(x) \) se cancelan, y nos queda: \[ \sec^3(x) - 2\sec^2(x) \tan(x) \] Para que la expresión sea igual a cero, necesitamos que: \[ \sec^3(x) - 2\sec^2(x) \tan(x) = 0 \] Esto se puede factorizar como: \[ \sec^2(x)(\sec(x) - 2\tan(x)) = 0 \] Dado que \( \sec^2(x) \) nunca es cero, tenemos que: \[ \sec(x) - 2\tan(x) = 0 \implies \sec(x) = 2\tan(x) \] Esto no es cierto para todos los \( x \), pero hemos encontrado que \( f(x) = \sec(x) \) es una solución que anula la expresión original. Por lo tanto, la función que anula la expresión es: \[ f(x) = \sec(x) \]