\( f(x)=x^{2}-2,[0,8] \), rectángulos inscrito

Para calcular el área bajo la curva \( f(x) = x^2 - 2 \) en el intervalo \([0, 8]\) utilizando el método de los rectángulos inscritos, seguimos estos pasos: 1. **Dividir el intervalo**: Primero, decidimos cuántos rectángulos queremos usar. Supongamos que dividimos el intervalo \([0, 8]\) en \( n \) subintervalos de igual longitud. La longitud de cada subintervalo será: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{8 - 0}{n} = \frac{8}{n} \] 2. **Puntos de evaluación**: Para el método de los rectángulos inscritos, tomamos el extremo izquierdo de cada subintervalo para evaluar la función. Los puntos de evaluación son: \[ x_i = a + i \Delta x = 0 + i \cdot \frac{8}{n} = \frac{8i}{n} \quad \text{para } i = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \] 3. **Evaluar la función**: Evaluamos la función en estos puntos: \[ f(x_i) = f\left(\frac{8i}{n}\right) = \left(\frac{8i}{n}\right)^2 - 2 = \frac{64i^2}{n^2} - 2 \] 4. **Área de los rectángulos**: El área de cada rectángulo es el valor de la función en el punto de evaluación multiplicado por la base del rectángulo: \[ A_i = f(x_i) \Delta x = \left(\frac{64i^2}{n^2} - 2\right) \cdot \frac{8}{n} \] Simplificando, tenemos: \[ A_i = \left(\frac{64i^2}{n^2} - 2\right) \cdot \frac{8}{n} = \frac{512i^2}{n^3} - \frac{16}{n} \] 5. **Área total**: La suma del área de todos los rectángulos es: \[ A = \sum_{i=0}^{n-1} A_i = \sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac{512i^2}{n^3} - \frac{16}{n}\right) \] Separando la suma: \[ A = \frac{512}{n^3} \sum_{i=0}^{n-1} i^2 - \frac{16}{n} \sum_{i=0}^{n-1} 1 \] Usamos la fórmula para la suma de los cuadrados: \[ \sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \] Y la suma de unos: \[ \sum_{i=0}^{n-1} 1 = n \] Sustituyendo: \[ A = \frac{512}{n^3} \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{16}{n} \cdot n \] Simplificando: \[ A = \frac{512(n-1)(2n-1)}{6n^2} - 16 \] 6. **Límite cuando \( n \to \infty \)**: Para encontrar el área total, tomamos el límite cuando \( n \) tiende a infinito: \[ A = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{512(n-1)(2n-1)}{6n^2} - 16 \right) \] Al simplificar, el término dominante en el límite será: \[ A = \frac{512 \cdot 2}{6} - 16 = \frac{1024}{6} - 16 = \frac{1024 - 96}{6} = \frac{928}{6} = \frac{464}{3} \] Por lo tanto, el área bajo la curva \( f(x) = x^2 - 2 \) en el intervalo \([0, 8]\) utilizando rectángulos inscritos es: \[ A = \frac{464}{3