2. (1.5 puntos) Construye el sistema \( x=A x+d \) donde x es el vector de producción A es la matriz insumo - producto

El sistema \( x = A x + d \) es un modelo de equilibrio en el contexto de la teoría insumo-producto, donde: - \( x \) es el vector de producción, que representa la cantidad de bienes producidos en la economía. - \( A \) es la matriz insumo-producto, que describe cómo se utilizan los insumos en la producción de bienes. Cada elemento \( a_{ij} \) de la matriz \( A \) indica la cantidad del insumo \( j \) que se necesita para producir una unidad del bien \( i \). - \( d \) es el vector de demanda final, que representa la cantidad de cada bien que se demanda en la economía. Para construir el sistema, podemos reorganizar la ecuación original: \[ x - A x = d \] Esto se puede reescribir como: \[ (I - A)x = d \] donde \( I \) es la matriz identidad del mismo tamaño que \( A \). Para resolver este sistema, se puede utilizar la siguiente expresión: \[ x = (I - A)^{-1} d \] Esto implica que, si la matriz \( (I - A) \) es invertible, podemos encontrar el vector de producción \( x \) en función de la demanda final \( d \). ### Ejemplo Supongamos que tenemos una economía con 2 sectores, y la matriz insumo-producto \( A \) es: \[ A = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 \end{pmatrix} \] Y el vector de demanda final \( d \) es: \[ d = \begin{pmatrix} 100 \\ 150 \end{pmatrix} \] Entonces, el sistema se puede expresar como: \[ x = A x + d \] Reorganizando, tenemos: \[ (I - A)x = d \] Calculamos \( I - A \): \[ I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0.3 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.7 & -0.2 \\ -0.1 & 0.6 \end{pmatrix} \] Ahora, podemos resolver el sistema: \[ \begin{pmatrix} 0.7 & -0.2 \\ -0.1 & 0.6 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 100 \\ 150 \end{pmatrix} \] Este sistema se puede resolver utilizando métodos de álgebra lineal, como la eliminación de Gauss o la regla de Cramer, para encontrar el vector de producción \( x \).