ola i valori delle seguenti espressioni, utilizzando le informazioni indicate a \( \cos \left(270^{\circ}-\alpha\right)-\cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)+\tan \left(90^{\circ}+\alpha\right) ; \quad \cos \alpha=-\frac{4}{5}, \operatorname{con} \pi<\alpha<\frac{3}{2} \pi \)

Per calcolare l'espressione \( \cos \left(270^{\circ}-\alpha\right)-\cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)+\tan \left(90^{\circ}+\alpha\right) \) utilizzando le informazioni fornite, seguiamo i seguenti passaggi. 1. **Calcolo di \( \cos(270^{\circ} - \alpha) \)**: \[ \cos(270^{\circ} - \alpha) = \sin(\alpha) \] Poiché \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) e \( \alpha \) è compreso tra \( \pi \) e \( \frac{3\pi}{2} \), sappiamo che \( \sin \alpha \) sarà negativo. Possiamo usare il teorema di Pitagora per trovare \( \sin \alpha \): \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \implies \sin \alpha = -\frac{3}{5} \] (poiché \( \alpha \) è nel terzo quadrante, \( \sin \alpha \) è negativo). 2. **Calcolo di \( \cos(180^{\circ} - \alpha) \)**: \[ \cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos(\alpha) = -\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{5} \] 3. **Calcolo di \( \tan(90^{\circ} + \alpha) \)**: \[ \tan(90^{\circ} + \alpha) = -\cot(\alpha) = -\frac{1}{\tan(\alpha)} \] Per calcolare \( \tan \alpha \), usiamo: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \] Quindi: \[ \tan(90^{\circ} + \alpha) = -\frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3} \] 4. **Combinazione dei risultati**: Ora possiamo sostituire i valori nell'espressione originale: \[ \cos(270^{\circ} - \alpha) - \cos(180^{\circ} - \alpha) + \tan(90^{\circ} + \alpha) = -\frac{3}{5} - \frac{4}{5} - \frac{4}{3} \] \[ = -\frac{3}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{7}{5} \] Ora sommiamo \( -\frac{7}{5} \) e \( -\frac{4}{3} \). Per fare ciò, troviamo un denominatore comune, che è 15: \[ -\frac{7}{5} = -\frac{21}{15}, \quad -\frac{4}{3} = -\frac{20}{15} \] Quindi: \[ -\frac{21}{15} - \frac{20}{15} = -\frac{41}{15} \] Pertanto, il valore finale dell'espressione è: \[ \boxed{-\frac{41}{15}} \]