\( 71\left(v_{n}\right) \) est la suite géométrique telle que \( v_{4}=-4 \) et \( v_{7}=-32 \). a) Calculer sa raison \( q \). b) Calculer \( v_{10} \).

Pour une suite géométrique, chaque terme peut être exprimé en fonction du premier terme et de la raison. Si nous notons \( v_1 \) le premier terme de la suite et \( q \) la raison, alors les termes de la suite peuvent être écrits comme suit : \[ v_n = v_1 \cdot q^{n-1} \] Nous avons les informations suivantes : 1. \( v_4 = v_1 \cdot q^{3} = -4 \) 2. \( v_7 = v_1 \cdot q^{6} = -32 \) Nous pouvons établir un système d'équations à partir de ces deux équations. Divisons la deuxième équation par la première pour éliminer \( v_1 \) : \[ \frac{v_7}{v_4} = \frac{v_1 \cdot q^{6}}{v_1 \cdot q^{3}} \implies \frac{-32}{-4} = q^{3} \] Cela simplifie à : \[ 8 = q^{3} \] Pour trouver \( q \), nous prenons la racine cubique des deux côtés : \[ q = 2 \] ### a) La raison \( q \) est donc \( 2 \). Maintenant, nous allons utiliser la valeur de \( q \) pour trouver \( v_1 \). Nous pouvons substituer \( q \) dans l'une des équations. Utilisons \( v_4 \) : \[ v_4 = v_1 \cdot q^{3} = -4 \] Substituons \( q = 2 \) : \[ v_1 \cdot 2^{3} = -4 \implies v_1 \cdot 8 = -4 \implies v_1 = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \] ### b) Maintenant, calculons \( v_{10} \). Utilisons la formule pour \( v_n \) : \[ v_{10} = v_1 \cdot q^{9} \] Substituons \( v_1 = -\frac{1}{2} \) et \( q = 2 \) : \[ v_{10} = -\frac{1}{2} \cdot 2^{9} = -\frac{1}{2} \cdot 512 = -256 \] ### Résumé des réponses : a) La raison \( q \) est \( 2 \). b) \( v_{10} = -256 \).