43 Soient les nombres complexes \( z_{1}=\frac{4-\mathrm{i}}{3+2 \mathrm{i}} \) et \( z_{2}=\frac{4+\mathrm{i}}{3-2 \mathrm{i}} \). 1. Vérifier que \( z_{1}+z_{2} \) est un nombre réel. 2. Que peut-on en déduire pour les parties imaginaires de \( z_{1} \) et \( z_{2} \) ? 3. Vérifier que \( z_{1}-z_{2} \) est un nombre imaginaire pur. 4. Que peut-on en déduire pour les parties réelles de \( z_{1} \) et \( z_{2} \) ?

Pour résoudre ce problème, nous allons d'abord calculer les nombres complexes \( z_1 \) et \( z_2 \). ### Étape 1 : Calcul de \( z_1 \) et \( z_2 \) 1. **Calcul de \( z_1 \)** : \[ z_1 = \frac{4 - \mathrm{i}}{3 + 2\mathrm{i}} \] Pour simplifier, multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : \[ z_1 = \frac{(4 - \mathrm{i})(3 - 2\mathrm{i})}{(3 + 2\mathrm{i})(3 - 2\mathrm{i})} \] Calculons le dénominateur : \[ (3 + 2\mathrm{i})(3 - 2\mathrm{i}) = 3^2 - (2\mathrm{i})^2 = 9 + 4 = 13 \] Calculons le numérateur : \[ (4 - \mathrm{i})(3 - 2\mathrm{i}) = 12 - 8\mathrm{i} - 3\mathrm{i} + 2 = 14 - 11\mathrm{i} \] Donc, \[ z_1 = \frac{14 - 11\mathrm{i}}{13} = \frac{14}{13} - \frac{11}{13}\mathrm{i} \] 2. **Calcul de \( z_2 \)** : \[ z_2 = \frac{4 + \mathrm{i}}{3 - 2\mathrm{i}} \] Multiplions également par le conjugué du dénominateur : \[ z_2 = \frac{(4 + \mathrm{i})(3 + 2\mathrm{i})}{(3 - 2\mathrm{i})(3 + 2\mathrm{i})} \] Le dénominateur est le même que précédemment : \[ (3 - 2\mathrm{i})(3 + 2\mathrm{i}) = 13 \] Calculons le numérateur : \[ (4 + \mathrm{i})(3 + 2\mathrm{i}) = 12 + 8\mathrm{i} + 3\mathrm{i} - 2 = 10 + 11\mathrm{i} \] Donc, \[ z_2 = \frac{10 + 11\mathrm{i}}{13} = \frac{10}{13} + \frac{11}{13}\mathrm{i} \] ### Étape 2 : Vérification que \( z_1 + z_2 \) est un nombre réel Calculons \( z_1 + z_2 \) : \[ z_1 + z_2 = \left( \frac{14}{13} - \frac{11}{13}\mathrm{i} \right) + \left( \frac{10}{13} + \frac{11}{13}\mathrm{i} \right) \] \[ = \left( \frac{14 + 10}{13} \right) + \left( -\frac{11 - 11}{13}\mathrm{i} \right) = \frac{24}{13} + 0\mathrm{i} \] Donc, \( z_1 + z_2 \) est bien un nombre réel. ### Étape 3 : Déduction sur les parties imaginaires de \( z_1 \) et \( z_2 \) Puisque \( z_1 + z_2 \) est un nombre réel, cela implique que les parties imaginaires de \( z_1 \) et \( z_2 \) s'annulent : \[ -\frac{11}{13} + \frac{11}{13} = 0 \] Cela signifie que les parties imaginaires de \( z_1 \) et \( z_2 \) sont opposées. ### Étape 4 : Vérification que \( z_1 - z_2 \) est un nombre imaginaire pur Calculons \( z_1 - z_2 \) : \[ z_1 - z_2 = \left( \frac{14}{13} - \frac{11}{13}\mathrm{i} \right) - \left( \frac{10}{13} + \frac{11}{13}\mathrm{i} \right) \] \[ = \left( \frac{14 - 10}{13} \right) + \left( -\frac{11 - 11}{13}\mathrm{i} \right) = \frac{4}{13} - \frac{22}{13}\mathrm{i} \] La partie réelle est \( \frac{4}{13} \) et la partie imaginaire est \( -\frac{22}{13} \). Pour que \( z_1 - z_2 \) soit un nombre imaginaire pur, la partie réelle doit être nulle. Cela signifie que les parties réelles de \( z_1 \) et \( z_2 \) doivent être égales. ### Étape 5 : Déduction sur les parties réelles de \( z_1 \) et \( z_2 \) Puisque \( z_1 - z_2 \) est un nombre imaginaire pur, cela implique que les parties réelles de \( z_1 \) et \( z_2 \) sont égales : \[ \frac{14}{13} = \frac{10}{13} \] Cela signifie que les parties réelles de \( z_1 \) et \( z_2 \) sont égales. ### Conclusion 1. \( z_1 + z_2 \) est un nombre réel. 2. Les parties imaginaires de \( z_1 \) et \( z_2 \) sont opposées. 3. \( z_1 - z_2 \) est un nombre imaginaire pur. 4. Les parties réelles de \( z_1 \) et \( z_2 \) sont égales.