Montrons que: \( \sqrt{x^{2}+1} \notin \mathbb{N} \)

Per dimostrare che \( \sqrt{x^{2}+1} \notin \mathbb{N} \) per ogni \( x \in \mathbb{Z} \) (insieme dei numeri interi), consideriamo l'espressione \( \sqrt{x^{2}+1} \). 1. **Analisi dell'espressione**: L'espressione \( x^{2} \) è sempre un numero intero non negativo per ogni \( x \in \mathbb{Z} \). Quindi, \( x^{2} + 1 \) è sempre maggiore di 0 e, in particolare, è sempre maggiore di \( x^{2} \). 2. **Proprietà dei numeri naturali**: Se \( \sqrt{x^{2}+1} \) fosse un numero naturale, allora \( \sqrt{x^{2}+1} = n \) per qualche \( n \in \mathbb{N} \). Elevando al quadrato entrambi i lati, otteniamo: \[ x^{2} + 1 = n^{2} \] Da questa equazione, possiamo riscrivere: \[ n^{2} - x^{2} = 1 \] Questa è un'equazione di Pell, che ha soluzioni solo per specifici valori di \( n \) e \( x \). 3. **Considerazione delle soluzioni**: L'equazione \( n^{2} - x^{2} = 1 \) può essere riscritta come: \[ (n - x)(n + x) = 1 \] Le uniche coppie di numeri interi che moltiplicano a 1 sono \( (1, 1) \) e \( (-1, -1) \). Analizzando il caso \( (1, 1) \): - \( n - x = 1 \) - \( n + x = 1 \) Risolvendo questo sistema, otteniamo: \[ n - x = 1 \implies n = x + 1 \] \[ n + x = 1 \implies n = 1 - x \] Eguagliando le due espressioni per \( n \): \[ x + 1 = 1 - x \implies 2x = 0 \implies x = 0 \] Se \( x = 0 \), allora \( n = 1 \) e \( \sqrt{0^{2}+1} = 1 \), che è un numero naturale. 4. **Conclusione**: Per tutti gli altri valori di \( x \) (cioè \( x \neq 0 \)), \( n^{2} - x^{2} = 1 \) non ha soluzioni intere. Pertanto, per ogni \( x \in \mathbb{Z} \) diverso da 0, \( \sqrt{x^{2}+1} \) non può essere un numero naturale. In conclusione, possiamo affermare che: \[ \sqrt{x^{2}+1} \notin \mathbb{N} \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{Z} \text{ con } x \neq 0. \]