\( 50[A B] \) est un segment donné. On se propose de construire un point \( D \) tel que \( \overrightarrow{D A}+4 \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{0} \). a) Démontrer que \( \overrightarrow{A D}=\frac{4}{5} \overrightarrow{A B} \). b) Construire le point \( D \).

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape. ### a) Démontrer que \( \overrightarrow{A D} = \frac{4}{5} \overrightarrow{A B} \) Nous avons l'équation vectorielle donnée : \[ \overrightarrow{D A} + 4 \overrightarrow{D B} = \overrightarrow{0} \] Nous pouvons réécrire cette équation en isolant \( \overrightarrow{D A} \) : \[ \overrightarrow{D A} = -4 \overrightarrow{D B} \] En utilisant la relation entre les vecteurs, nous savons que : \[ \overrightarrow{D B} = \overrightarrow{B D} = -\overrightarrow{D A} - 4 \overrightarrow{D B} \] Nous pouvons exprimer \( \overrightarrow{D A} \) en fonction de \( \overrightarrow{A B} \). En utilisant le fait que \( \overrightarrow{D A} = \overrightarrow{A D} \) et \( \overrightarrow{D B} = \overrightarrow{B D} \), nous avons : \[ \overrightarrow{D A} = -4 \overrightarrow{D B} = -4 (\overrightarrow{B D}) = -4 (-\overrightarrow{D A} - \overrightarrow{A B}) \] En réarrangeant, nous obtenons : \[ \overrightarrow{D A} + 4 \overrightarrow{D A} = 4 \overrightarrow{A B} \] Ce qui nous donne : \[ 5 \overrightarrow{D A} = 4 \overrightarrow{A B} \] En divisant par 5, nous trouvons : \[ \overrightarrow{D A} = \frac{4}{5} \overrightarrow{A B} \] ### b) Construire le point \( D \) Pour construire le point \( D \), nous allons suivre ces étapes : 1. **Tracer le segment \( [A B] \)** : Dessinez le segment \( [A B] \) de longueur 50 unités. 2. **Trouver le point \( E \)** : Calculez le point \( E \) qui est tel que \( \overrightarrow{A E} = \frac{4}{5} \overrightarrow{A B} \). Pour cela, mesurez \( \frac{4}{5} \) de la longueur du segment \( [A B] \) à partir du point \( A \) vers le point \( B \). 3. **Placer le point \( D \)** : Le point \( D \) sera donc le point \( E \) que vous avez trouvé. Ainsi, le point \( D \) est situé à \( \frac{4}{5} \) de la distance de \( A \) vers \( B \).