2. Representa en el plano el pen- tágono de vértices \( A^{\prime}(2,0) \), \( B^{\prime}(2,-2), C^{\prime}(-2,-2), D^{\prime}(-2,0) \) y \( E^{\prime}(0,1) \), y el pentágono de vér- tices \( A(0,0), B(2,-1), C(2,-3) \), \( D(-2,-3) \) y \( E(-2,-1) \). ¿Son semejantes los pentágonos ABCDE y \( A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime} \) anteriores?

Para determinar si los pentágonos \( ABCDE \) y \( A'B'C'D'E' \) son semejantes, primero representaremos los vértices de ambos pentágonos en el plano cartesiano. ### Vértices del pentágono \( ABCDE \): - \( A(0,0) \) - \( B(2,-1) \) - \( C(2,-3) \) - \( D(-2,-3) \) - \( E(-2,-1) \) ### Vértices del pentágono \( A'B'C'D'E' \): - \( A'(2,0) \) - \( B'(2,-2) \) - \( C'(-2,-2) \) - \( D'(-2,0) \) - \( E'(0,1) \) ### Representación gráfica: Para representar los pentágonos en el plano, podemos graficar los puntos y unirlos en el orden dado. 1. **Pentágono \( ABCDE \)**: - Dibuja los puntos \( A, B, C, D, E \) en el plano. - Une los puntos en el orden \( A \to B \to C \to D \to E \to A \). 2. **Pentágono \( A'B'C'D'E' \)**: - Dibuja los puntos \( A', B', C', D', E' \) en el plano. - Une los puntos en el orden \( A' \to B' \to C' \to D' \to E' \to A' \). ### Análisis de semejanza: Para determinar si los pentágonos son semejantes, debemos verificar si sus ángulos son iguales y si sus lados son proporcionales. 1. **Longitudes de los lados**: - Calculamos las longitudes de los lados de ambos pentágonos usando la fórmula de la distancia entre dos puntos \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \). **Pentágono \( ABCDE \)**: - \( AB = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \) - \( BC = \sqrt{(2-2)^2 + (-3+1)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2 \) - \( CD = \sqrt{(-2-2)^2 + (-3+3)^2} = \sqrt{16 + 0} = 4 \) - \( DE = \sqrt{(-2+2)^2 + (-1+3)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2 \) - \( EA = \sqrt{(0+2)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \) **Pentágono \( A'B'C'D'E' \)**: - \( A'B' = \sqrt{(2-2)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2 \) - \( B'C' = \sqrt{(-2-2)^2 + (-2+2)^2} = \sqrt{16 + 0} = 4 \) - \( C'D' = \sqrt{(-2+2)^2 + (0+2)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2 \) - \( D'E' = \sqrt{(0+2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \) - \( E'A' = \sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \) 2. **Comparación de proporciones**: - Lados de \( ABCDE \): \( \sqrt{5}, 2, 4, 2, \sqrt{5} \) - Lados de \( A'B'C'D'E' \): \( 2, 4, 2, \sqrt{5}, \sqrt{5} \) Observamos que las proporciones de los lados no son constantes. Por ejemplo, el lado \( AB \) de \( ABCDE \) es \( \sqrt{5} \) y el lado \( A'B' \) de \( A'B'C'D'E' \) es \( 2 \). ### Conclusión: Los pentágonos \( ABCDE \) y \( A'B'C'D'E' \) no son semejantes, ya que no tienen lados proporcionales y, por lo tanto, no cumplen con la condición de semejanza.