\( y=9^{\mathrm{x}+\frac{1}{2}}-4 \cdot 3^{\mathrm{x}}+1 \quad(26 \) מצא בתרגילים הבאים את מצים

כדי למצוא את המיצים של הפונקציה \( y = 9^{x + \frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^x + 1 \), נתחיל על ידי הפיכת \( 9 \) לבסיס \( 3 \): \[ 9^{x + \frac{1}{2}} = (3^2)^{x + \frac{1}{2}} = 3^{2(x + \frac{1}{2})} = 3^{2x + 1} \] נכניס את זה לפונקציה: \[ y = 3^{2x + 1} - 4 \cdot 3^x + 1 \] נחלק את הפונקציה לשני חלקים: \[ y = 3^{2x + 1} - 4 \cdot 3^x + 1 = 3 \cdot 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 1 \] נחלק את הפונקציה לפי \( z = 3^x \): \[ y = 3z^2 - 4z + 1 \] כעת, נחשב את המיצים של הפונקציה \( y = 3z^2 - 4z + 1 \) על ידי חישוב הדלתא: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \] כעת נחשב את השורשים של הפונקציה: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6} \] נחשב את השורשים: 1. \( z_1 = \frac{6}{6} = 1 \) 2. \( z_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) כעת, נחשב את הערכים של \( y \) עבור השורשים: 1. עבור \( z = 1 \): \[ y = 3(1)^2 - 4(1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0 \] 2. עבור \( z = \frac{1}{3} \): \[ y = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{3}\right) + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{4}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} + 1 = \frac{1 - 4 + 3}{3} = 0 \] לכן, הפונקציה \( y \) שווה ל-0 בשני ערכים: \( z = 1 \) ו- \( z = \frac{1}{3} \). כעת, נחשב את הערכים של \( x \): 1. עבור \( z = 1 \): \[ 3^x = 1 \implies x = 0 \] 2. עבור \( z = \frac{1}{3} \): \[ 3^x = \frac{1}{3} \implies x = -1 \] לסיכום, המיצים של הפונקציה הם \( x = 0 \) ו- \( x = -1 \).