Determinar la primera y segunda derivadas y evaluar cada una de ellas en el valor indicado del parámetro. \( x=\sqrt{t}, \quad y=3 t-1 \quad t=1 \)

Para determinar las derivadas de \( y \) con respecto a \( x \), primero necesitamos encontrar las derivadas de \( y \) y \( x \) con respecto a \( t \). Dadas las ecuaciones: \[ x = \sqrt{t} \] \[ y = 3t - 1 \] Primero, calculamos las derivadas de \( x \) y \( y \) con respecto a \( t \): 1. **Primera derivada de \( x \) con respecto a \( t \)**: \[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\sqrt{t}) = \frac{1}{2\sqrt{t}} \] 2. **Primera derivada de \( y \) con respecto a \( t \)**: \[ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(3t - 1) = 3 \] Ahora, podemos encontrar la primera derivada de \( y \) con respecto a \( x \) usando la regla de la cadena: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3}{\frac{1}{2\sqrt{t}}} = 3 \cdot 2\sqrt{t} = 6\sqrt{t} \] Ahora evaluamos \( \frac{dy}{dx} \) en \( t = 1 \): \[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{t=1} = 6\sqrt{1} = 6 \] Ahora, para encontrar la segunda derivada \( \frac{d^2y}{dx^2} \), utilizamos la derivada de \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} \] Primero, calculamos \( \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \): \[ \frac{dy}{dx} = 6\sqrt{t} \] \[ \frac{d}{dt}\left(6\sqrt{t}\right) = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{3}{\sqrt{t}} \] Ahora, necesitamos \( \frac{dt}{dx} \): \[ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}} = 2\sqrt{t} \] Por lo tanto, la segunda derivada es: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{\sqrt{t}} \cdot 2\sqrt{t} = 6 \] Finalmente, evaluamos \( \frac{d^2y}{dx^2} \) en \( t = 1 \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} \bigg|_{t=1} = 6 \] Resumiendo: - La primera derivada \( \frac{dy}{dx} \) evaluada en \( t = 1 \) es \( 6 \). - La segunda derivada \( \frac{d^2y}{dx^2} \) evaluada en \( t = 1 \) es \( 6 \).