Actividad 5 La arena contenida en un reloj de arena ocupa un volumen de \( 567 \mathrm{~cm}^{3} \) y el fabricante indica que la velocidad de caida de la arena es de \( 7 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} \). a) Averigua, ¿Cuánto tarda en haber la misma cantidad de arena en las dos partes del reloj. b) ¿A los cuántos segundos de iniciado el conteo la otra parte del reloj contiene toda la arena? c) Si registramos la variación del volumen de arena en la primera parte del reloj de acuerdo al tiempo transcurrido, ¿Cuáles serían los datos que aparecerían en la siguiente tabla?

Para resolver las preguntas planteadas, vamos a analizar la situación del reloj de arena. ### a) ¿Cuánto tarda en haber la misma cantidad de arena en las dos partes del reloj? El volumen total de arena en el reloj de arena es de \( 567 \, \text{cm}^3 \). Para que haya la misma cantidad de arena en ambas partes, cada parte debe contener la mitad del volumen total: \[ \text{Volumen en cada parte} = \frac{567 \, \text{cm}^3}{2} = 283.5 \, \text{cm}^3 \] La arena cae a una velocidad de \( 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \). Para encontrar el tiempo que tarda en llegar a \( 283.5 \, \text{cm}^3 \), utilizamos la fórmula: \[ \text{Tiempo} = \frac{\text{Volumen}}{\text{Velocidad}} = \frac{283.5 \, \text{cm}^3}{7 \, \text{cm}^3/\text{s}} = 40.5 \, \text{s} \] Por lo tanto, **tarda 40.5 segundos en haber la misma cantidad de arena en las dos partes del reloj.** ### b) ¿A los cuántos segundos de iniciado el conteo la otra parte del reloj contiene toda la arena? Para que la otra parte del reloj contenga toda la arena, debe pasar el tiempo necesario para que toda la arena caiga. Dado que el volumen total de arena es de \( 567 \, \text{cm}^3 \) y la velocidad de caída es de \( 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \), el tiempo total para que toda la arena caiga es: \[ \text{Tiempo total} = \frac{567 \, \text{cm}^3}{7 \, \text{cm}^3/\text{s}} = 81 \, \text{s} \] Por lo tanto, **la otra parte del reloj contiene toda la arena a los 81 segundos de iniciado el conteo.** ### c) Datos de la variación del volumen de arena en la primera parte del reloj de acuerdo al tiempo transcurrido La cantidad de arena en la primera parte del reloj disminuye a medida que la arena cae. La cantidad de arena en la primera parte en función del tiempo \( t \) (en segundos) se puede expresar como: \[ V(t) = 567 \, \text{cm}^3 - 7 \, \text{cm}^3 \cdot t \] A continuación, se presentan algunos valores de \( t \) y el correspondiente volumen \( V(t) \): | Tiempo (s) | Volumen en la primera parte (cm³) | |------------|------------------------------------| | 0 | 567 | | 10 | 567 - 7(10) = 567 - 70 = 497 | | 20 | 567 - 7(20) = 567 - 140 = 427 | | 30 | 567 - 7(30) = 567 - 210 = 357 | | 40 | 567 - 7(40) = 567 - 280 = 287 | | 40.5 | 567 - 7(40.5) = 567 - 283.5 = 283.5| | 50 | 567 - 7(50) = 567 - 350 = 217 | | 60 | 567 - 7(60) = 567 - 420 = 147 | | 70 | 567 - 7(70) = 567 - 490 = 77 | | 81 | 567 - 7(81) = 567 - 567 = 0 | Estos datos reflejan cómo varía el volumen de arena en la primera parte del reloj de arena a medida que pasa el tiempo.