Resolver la matriz por el método gauus y iordand \( \left(\begin{array}{ccc|c}2 & 3 & -1 & 5 \\ 4 & -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 4\end{array}\right) \)

Para resolver el sistema de ecuaciones representado por la matriz aumentada \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 5 \\ 4 & -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 4 \end{array}\right) \] usaremos el método de eliminación de Gauss. El objetivo es transformar la matriz en una forma escalonada y luego resolver el sistema. ### Paso 1: Formar la matriz aumentada La matriz aumentada ya está dada. La representamos como: \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 4 & -1 & 2 & | & 3 \\ 1 & 2 & 2 & | & 4 \end{bmatrix} \] ### Paso 2: Hacer ceros debajo del primer pivote El primer pivote es el elemento \(2\) en la posición (1,1). Queremos hacer ceros en las posiciones (2,1) y (3,1). 1. Para hacer cero en (2,1), restamos \(2\) veces la fila 1 de la fila 2: \[ F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 \] \[ 4 - 2(2) = 0, \quad -1 - 2(3) = -7, \quad 2 - 2(-1) = 4, \quad 3 - 2(5) = -7 \] Entonces, la nueva fila 2 es: \[ \begin{bmatrix} 0 & -7 & 4 & | & -7 \end{bmatrix} \] 2. Para hacer cero en (3,1), restamos \(0.5\) veces la fila 1 de la fila 3: \[ F_3 \leftarrow F_3 - 0.5F_1 \] \[ 1 - 0.5(2) = 0, \quad 2 - 0.5(3) = 0.5, \quad 2 - 0.5(-1) = 2.5, \quad 4 - 0.5(5) = 1.5 \] Entonces, la nueva fila 3 es: \[ \begin{bmatrix} 0 & 0.5 & 2.5 & | & 1.5 \end{bmatrix} \] Ahora la matriz se ve así: \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & -7 & 4 & | & -7 \\ 0 & 0.5 & 2.5 & | & 1.5 \end{bmatrix} \] ### Paso 3: Hacer ceros debajo del segundo pivote El segundo pivote es el elemento \(-7\) en la posición (2,2). Queremos hacer cero en (3,2). Para hacer cero en (3,2), multiplicamos la fila 2 por \(-\frac{1}{14}\) y sumamos a la fila 3: \[ F_3 \leftarrow F_3 - \left(\frac{0.5}{-7}\right)F_2 \] Calculamos: \[ 0 - 0 = 0, \quad 0.5 - \left(\frac{0.5}{-7}\right)(-7) = 0, \quad 2.5 - \left(\frac{0.5}{-7}\right)(4) = 2.5 + \frac{2}{7} = \frac{17.5}{7}, \quad 1.5 - \left(\frac{0.5}{-7}\right)(-7) = 1.5 + 0.5 = 2 \] La nueva fila 3 es: \[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{17.5}{7} & | & 2 \end{bmatrix} \] Ahora la matriz se ve así: \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & -7 & 4 & | & -7 \\ 0 & 0 & \frac{17.5}{7} & | & 2 \end{bmatrix} \] ### Paso 4: Sustitución hacia atrás Ahora que tenemos la matriz en forma escalonada, podemos resolver el sistema. 1. De la tercera