39. Для векторів \( \bar{a}=-3 \bar{i}+2 \bar{j}-4 \bar{k}, \bar{b}=2 \bar{i}+3 \bar{k} \) знайти скалярний та векторний добутки. 40. Обчислити площу паралелограму побудованого на векторах \( \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{p}}-3 \overrightarrow{\mathrm{q}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{p}}+2 \overrightarrow{\mathrm{q}} \), якщо \( |\overrightarrow{\mathrm{p}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{q}}|=5,(\overrightarrow{\mathrm{p}}, \overrightarrow{\mathrm{q}})=90^{\circ} \). 41. Дано вершини піраміди \( \mathrm{A}(4,-1,3) ; \mathrm{B}(-2,1,0) ; \mathrm{C}(0,-5,1), \mathrm{D}(3,2,-6) \). Знайти висоту,

39. Для векторів \( \bar{a}=-3 \bar{i}+2 \bar{j}-4 \bar{k}, \bar{b}=2 \bar{i}+3 \bar{k} \) знайти скалярний та векторний добутки. Скалярний добуток (внутрішній добуток) векторів \( \bar{a} \) і \( \bar{b} \) обчислюється за формулою: \[ \bar{a} \cdot \bar{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \] Для векторів \( \bar{a}=-3 \bar{i}+2 \bar{j}-4 \bar{k} \) і \( \bar{b}=2 \bar{i}+3 \bar{k} \) маємо: \[ \bar{a} \cdot \bar{b} = (-3)(2) + (2)(3) + (-4)(3) \] \[ \bar{a} \cdot \bar{b} = -6 + 6 - 12 \] \[ \bar{a} \cdot \bar{b} = -12 \] Векторний добуток (внешній добуток) векторів \( \bar{a} \) і \( \bar{b} \) обчислюється за формулою: \[ \bar{a} \times \bar{b} = \left( a_y b_z - a_z b_y \right) \bar{i} - \left( a_x b_z - a_z b_x \right) \bar{j} + \left( a_x b_y - a_y b_x \right) \bar{k} \] Для векторів \( \bar{a}=-3 \bar{i}+2 \bar{j}-4 \bar{k} \) і \( \bar{b}=2 \bar{i}+3 \bar{k} \) маємо: \[ \bar{a} \times \bar{b} = \left( 2(3) - (-4)(3) \right) \bar{i} - \left( (-3)(3) - (-4)(2) \right) \bar{j} + \left( (-3)(3) - 2(-4) \right) \bar{k} \] \[ \bar{a} \times \bar{b} = \left( 6 + 12 \right) \bar{i} - \left( -9 + 8 \right) \bar{j} + \left( -9 + 8 \right) \bar{k} \] \[ \bar{a} \times \bar{b} = 18 \bar{i} + \bar{j} - \bar{j} \] \[ \bar{a} \times \bar{b} = 18 \bar{i} \] Отже, скалярний добуток \( \bar{a} \cdot \bar{b} = -12 \), а векторний добуток \( \bar{a} \times \bar{b} = 18 \bar{i} \). 40. Обчислити площу паралелограму побудованого на векторах \( \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{p}}-3 \overrightarrow{\mathrm{q}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{p}}+2 \overrightarrow{\mathrm{q}} \), якщо \( |\overrightarrow{\mathrm{p}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{q}}|=5,(\overrightarrow{\mathrm{p}}, \overrightarrow{\mathrm{q}})=90^{\circ} \). Площа паралелограма, побудованого на векторах \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) і \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \), обчислюється за формулою: \[ S = |\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}| \] Спочатку знайдемо векторний добуток \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}} \): \[ \overrightarrow{\mathrm{a}} = \overrightarrow{\mathrm{p}} - 3 \overrightarrow{\mathrm{q}} \] \[ \overrightarrow{\mathrm{b}} = \overrightarrow{\mathrm{p}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{q}} \] \[ \overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}} = (\overrightarrow{\mathrm{p}} - 3 \overrightarrow{\