กำหนด \( \tan A=\frac{3}{4} \) แล้วค่าของ \( \sin 2 A-\cos 2 A \) เท่ากับเท่าใด

เรามี \( \tan A = \frac{3}{4} \) ซึ่งหมายความว่าเราสามารถกำหนด \( \sin A \) และ \( \cos A \) ได้จากการใช้พีทาโกรัส ให้ \( \sin A = 3k \) และ \( \cos A = 4k \) สำหรับบางค่า \( k \) จากนั้นเราจะใช้สมการพีทาโกรัส: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \] แทนค่าลงไป: \[ (3k)^2 + (4k)^2 = 1 \] \[ 9k^2 + 16k^2 = 1 \] \[ 25k^2 = 1 \] \[ k^2 = \frac{1}{25} \] \[ k = \frac{1}{5} \] ดังนั้น: \[ \sin A = 3k = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \] \[ \cos A = 4k = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \] ต่อไปเราจะหาค่า \( \sin 2A \) และ \( \cos 2A \) โดยใช้สูตร: \[ \sin 2A = 2 \sin A \cos A \] \[ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A \] คำนวณ \( \sin 2A \): \[ \sin 2A = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \] คำนวณ \( \cos 2A \): \[ \cos 2A = \left( \frac{4}{5} \right)^2 - \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \] ตอนนี้เราสามารถหาค่า \( \sin 2A - \cos 2A \): \[ \sin 2A - \cos 2A = \frac{24}{25} - \frac{7}{25} = \frac{17}{25} \] ดังนั้น ค่าของ \( \sin 2A - \cos 2A \) เท่ากับ: \[ \boxed{\frac{17}{25}} \]