78. Empleando álgebra proposicional, identifique cuál de la siguientes formas proposicionales NO es tautológica. \( \begin{array}{ll}\text { a) } \neg(p \vee q) \rightarrow(\neg p \vee \neg q) & \text { d) }[\neg p \wedge(\neg p \vee q)] \rightarrow p \\ \text { b) }(p \wedge \neg q) \rightarrow \neg(p \vee q) & \text { e) }[p \wedge(p \vee q)] \rightarrow q\end{array} \)

Para determinar cuál de las formas proposicionales dadas no es tautológica, evaluaremos cada una de ellas. Una tautología es una proposición que es verdadera para todos los valores de verdad de sus variables. Vamos a analizar cada opción: **a)** \( \neg(p \vee q) \rightarrow(\neg p \vee \neg q) \) Esta es una forma de la ley de De Morgan. La expresión \( \neg(p \vee q) \) es equivalente a \( \neg p \wedge \neg q \). Por lo tanto, la proposición se puede reescribir como: \[ \neg p \wedge \neg q \rightarrow \neg p \vee \neg q \] Esta proposición es siempre verdadera, ya que si \( \neg p \wedge \neg q \) es verdadero, entonces \( \neg p \vee \neg q \) también es verdadero. Por lo tanto, esta forma es tautológica. **b)** \( (p \wedge \neg q) \rightarrow \neg(p \vee q) \) Evaluamos esta proposición. La expresión \( \neg(p \vee q) \) es equivalente a \( \neg p \wedge \neg q \). Entonces, la proposición se convierte en: \[ (p \wedge \neg q) \rightarrow (\neg p \wedge \neg q) \] Para que esta proposición sea verdadera, si \( p \wedge \neg q \) es verdadero, entonces \( \neg p \) debe ser verdadero, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, esta proposición no es tautológica. **c)** \( [\neg p \wedge(\neg p \vee q)] \rightarrow p \) La expresión \( \neg p \wedge(\neg p \vee q) \) es equivalente a \( \neg p \). Por lo tanto, la proposición se convierte en: \[ \neg p \rightarrow p \] Esta proposición es falsa cuando \( p \) es falso, por lo que no es tautológica. **d)** \( [p \wedge(p \vee q)] \rightarrow q \) La expresión \( p \wedge(p \vee q) \) es equivalente a \( p \). Por lo tanto, la proposición se convierte en: \[ p \rightarrow q \] Esta proposición no es tautológica, ya que puede ser falsa si \( p \) es verdadero y \( q \) es falso. **e)** \( [p \wedge(p \vee q)] \rightarrow q \) Esta proposición es equivalente a \( p \rightarrow q \), que no es tautológica. Ahora, resumiendo: - La opción **a)** es tautológica. - La opción **b)** no es tautológica. - La opción **c)** no es tautológica. - La opción **d)** no es tautológica. - La opción **e)** no es tautológica. La opción que **NO es tautológica** es la **b)** \( (p \wedge \neg q) \rightarrow \neg(p \vee q) \).