Hallar puntos criticos de la función. \[ f(x, y)=y^{3}+3 x^{2} y-5 x^{2}-5 y^{2}+2 \]

Para encontrar los puntos críticos de la función \( f(x, y) = y^{3} + 3x^{2}y - 5x^{2} - 5y^{2} + 2 \), debemos calcular las derivadas parciales de \( f \) con respecto a \( x \) y \( y \), y luego igualarlas a cero. 1. **Calcular las derivadas parciales:** - Derivada parcial con respecto a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6xy - 10x \] - Derivada parcial con respecto a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^{2} + 3x^{2} - 10y \] 2. **Igualar las derivadas parciales a cero:** - Para \( f_x = 0 \): \[ 6xy - 10x = 0 \] Factorizando: \[ 2x(3y - 5) = 0 \] Esto nos da dos casos: - \( x = 0 \) - \( 3y - 5 = 0 \) \(\Rightarrow y = \frac{5}{3}\) - Para \( f_y = 0 \): \[ 3y^{2} + 3x^{2} - 10y = 0 \] Dividiendo todo entre 3: \[ y^{2} + x^{2} - \frac{10}{3}y = 0 \] Reorganizando: \[ y^{2} - \frac{10}{3}y + x^{2} = 0 \] 3. **Analizar los casos:** - **Caso 1:** \( x = 0 \) Sustituyendo \( x = 0 \) en la ecuación de \( f_y = 0 \): \[ y^{2} - \frac{10}{3}y = 0 \] Factorizando: \[ y(y - \frac{10}{3}) = 0 \] Esto nos da: - \( y = 0 \) - \( y = \frac{10}{3} \) Por lo tanto, los puntos críticos en este caso son: - \( (0, 0) \) - \( (0, \frac{10}{3}) \) - **Caso 2:** \( y = \frac{5}{3} \) Sustituyendo \( y = \frac{5}{3} \) en la ecuación de \( f_y = 0 \): \[ \left(\frac{5}{3}\right)^{2} + x^{2} - \frac{10}{3}\left(\frac{5}{3}\right) = 0 \] Calculando: \[ \frac{25}{9} + x^{2} - \frac{50}{9} = 0 \] Simplificando: \[ x^{2} - \frac{25}{9} = 0 \] Esto nos da: \[ x^{2} = \frac{25}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{5}{3} \] Por lo tanto, los puntos críticos en este caso son: - \( \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right) \) - \( \left(-\frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right) \) 4. **Conclusión:** Los puntos críticos de la función \( f(x, y) \) son: - \( (0, 0) \) - \( (0, \frac{10}{3}) \) - \( \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right) \) - \( \left(-\frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right) \)