Encontrar los minimos 0 maximos de 12 función : \( 10 x^{4}+30 x^{3}+x^{2} \)

Para encontrar los mínimos y máximos de la función \( f(x) = 10x^4 + 30x^3 + x^2 \), primero necesitamos calcular la derivada de la función y luego encontrar los puntos críticos. 1. **Calcular la derivada**: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(10x^4 + 30x^3 + x^2) = 40x^3 + 90x^2 + 2x \] 2. **Encontrar los puntos críticos**: Igualamos la derivada a cero: \[ 40x^3 + 90x^2 + 2x = 0 \] Factorizamos la ecuación: \[ 2x(20x^2 + 45x + 1) = 0 \] Esto nos da un punto crítico en \( x = 0 \). Ahora, resolvemos el polinomio cuadrático \( 20x^2 + 45x + 1 = 0 \) usando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-45 \pm \sqrt{45^2 - 4 \cdot 20 \cdot 1}}{2 \cdot 20} \] Calculamos el discriminante: \[ 45^2 - 4 \cdot 20 \cdot 1 = 2025 - 80 = 1945 \] Ahora, calculamos las raíces: \[ x = \frac{-45 \pm \sqrt{1945}}{40} \] Calculamos \( \sqrt{1945} \): \[ \sqrt{1945} \approx 44.1 \] Por lo tanto, las raíces son: \[ x_1 = \frac{-45 + 44.1}{40} \approx -0.0225 \] \[ x_2 = \frac{-45 - 44.1}{40} \approx -2.2275 \] 3. **Determinar si son máximos o mínimos**: Para determinar si estos puntos críticos son máximos o mínimos, podemos usar la segunda derivada: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(40x^3 + 90x^2 + 2x) = 120x^2 + 180x + 2 \] Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos: - Para \( x = 0 \): \[ f''(0) = 120(0)^2 + 180(0) + 2 = 2 > 0 \quad \text{(mínimo)} \] - Para \( x \approx -0.0225 \): \[ f''(-0.0225) = 120(-0.0225)^2 + 180(-0.0225) + 2 \] Calculamos: \[ = 120(0.00050625) - 4.05 + 2 \approx 0.06075 - 4.05 + 2 \approx -1.98925 < 0 \quad \text{(máximo)} \] - Para \( x \approx -2.2275 \): \[ f''(-2.2275) = 120(-2.2275)^2 + 180(-2.2275) + 2 \] Calculamos: \[ = 120(4.973) - 400.95 + 2 \approx 596.76 - 400.95 + 2 \approx 197.81 > 0 \quad \text{(mínimo)} \] 4. **Conclusión**: - \( x = 0 \) es un **mínimo**. - \( x \approx -0.0225 \) es un **máximo**. - \( x \approx -2.2275 \) es un **mínimo**. Por lo tanto, los puntos críticos son: - Máximo en \( x \approx -0.0225 \) - Mínimos en \( x = 0 \) y \( x \approx -2.2275 \)