Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por \( y=\sqrt{x}, y=2-x, 0 \leq x \leq 1 \) y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y=-1 \)

Para encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas \( y=\sqrt{x} \), \( y=2-x \), y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y=-1 \), podemos utilizar el método de rotación alrededor de un eje. El volumen \( V \) de un sólido generado al rotar una región limitada por las curvas \( y=f(x) \) y \( y=g(x) \) alrededor de un eje \( y=a \) se puede calcular utilizando la fórmula: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \] Donde: - \( f(x) \) es la función superior de la región. - \( g(x) \) es la función inferior de la región. - \( a \) y \( b \) son los límites de integración. En este caso, las curvas \( y=\sqrt{x} \) y \( y=2-x \) definen la región limitada, y el eje \( y=-1 \) es el eje de rotación. Primero, encontramos los puntos de intersección de las curvas \( y=\sqrt{x} \) y \( y=2-x \) para determinar los límites de integración. Para encontrar los puntos de intersección, igualamos las dos ecuaciones: \[ \sqrt{x} = 2-x \] Solving this equation will give us the points of intersection. Let's solve it. Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(x\): \(\sqrt{x}=2-x\) - step1: Find the domain: \(\sqrt{x}=2-x ,x\geq 0\) - step2: Evaluate: \(\sqrt{x}=2-x,2-x\geq 0\) - step3: Evaluate: \(\sqrt{x}=2-x,x\leq 2\) - step4: Solve the equation: \(\begin{align}&x=4\\&x=1\end{align},x\leq 2\) - step5: Find the intersection: \(x=1\) - step6: Check if the solution is in the defined range: \(x=1,x\geq 0\) - step7: Find the intersection: \(x=1\) - step8: Check the solution: \(x=1\) El punto de intersección de las curvas \( y=\sqrt{x} \) y \( y=2-x \) es \( x=1 \). Por lo tanto, los límites de integración son \( a=0 \) y \( b=1 \). Ahora, podemos calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas \( y=\sqrt{x} \), \( y=2-x \), y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y=-1 \) utilizando la fórmula: \[ V = \pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 dx \] Donde \( f(x) = \sqrt{x} \) es la función superior de la región. Vamos a calcular el volumen. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\pi \times \int_{0}^{1} \left(\sqrt{x}\right)^{2} dx\) - step1: Evaluate the power: \(\pi \times \int_{0}^{1} \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2} dx\) - step2: Evaluate the power: \(\pi \times \int_{0}^{1} x dx\) - step3: Evaluate the integral: \(\pi \times \frac{1}{2}\) - step4: Multiply: \(\frac{\pi }{2}\) El volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas \( y=\sqrt{x} \), \( y=2-x \), y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y=-1 \) es \( \frac{\pi}{2} \) unidades cúbicas.