\( 122 \mathrm{~A}=\{2,12,15,17,21,25\} \) \( x \& y \) se \( \alpha x \) e \( y \) hanno divisori comuni diversi da \( 1 \equiv \) con \( x, y \in \mathrm{A} \)

Per risolvere il problema, dobbiamo trovare le coppie \( (x, y) \) in \( A = \{2, 12, 15, 17, 21, 25\} \) tali che \( x \) e \( y \) abbiano divisori comuni diversi da 1. Iniziamo a calcolare i divisori di ciascun numero nell'insieme \( A \): - \( 2 \): divisori \( \{1, 2\} \) - \( 12 \): divisori \( \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \) - \( 15 \): divisori \( \{1, 3, 5, 15\} \) - \( 17 \): divisori \( \{1, 17\} \) - \( 21 \): divisori \( \{1, 3, 7, 21\} \) - \( 25 \): divisori \( \{1, 5, 25\} \) Ora, verifichiamo le coppie \( (x, y) \) per trovare quelle che hanno divisori comuni diversi da 1: 1. **Coppie con \( 2 \)**: - \( (2, 12) \): comuni \( \{2\} \) (divisore comune) - \( (2, 15) \): comuni \( \{1\} \) (nessun divisore comune diverso da 1) - \( (2, 17) \): comuni \( \{1\} \) (nessun divisore comune diverso da 1) - \( (2, 21) \): comuni \( \{1\} \) (nessun divisore comune diverso da 1) - \( (2, 25) \): comuni \( \{1\} \) (nessun divisore comune diverso da 1) 2. **Coppie con \( 12 \)**: - \( (12, 15) \): comuni \( \{3\} \) (divisore comune) - \( (12, 17) \): comuni \( \{1\} \) (nessun divisore comune diverso da 1) - \( (12, 21) \): comuni \( \{3\} \) (divisore comune) - \( (12, 25) \): comuni \( \{1\} \) (nessun divisore comune diverso da 1) 3. **Coppie con \( 15 \)**: - \( (15, 17) \): comuni \( \{1\} \) (nessun divisore comune diverso da 1) - \( (15, 21) \): comuni \( \{3\} \) (divisore comune) - \( (15, 25) \): comuni \( \{5\} \) (divisore comune) 4. **Coppie con \( 17 \)**: - \( (17, 21) \): comuni \( \{1\} \) (nessun divisore comune diverso da 1) - \( (17, 25) \): comuni \( \{1\} \) (nessun divisore comune diverso da 1) 5. **Coppie con \( 21 \)**: - \( (21, 25) \): comuni \( \{1\} \) (nessun divisore comune diverso da 1) Dopo aver esaminato tutte le coppie, le coppie \( (x, y) \) che hanno divisori comuni diversi da 1 sono: - \( (12, 15) \) - \( (12, 21) \) - \( (15, 21) \) - \( (15, 25) \) Quindi, le coppie che soddisfano la condizione sono: \[ \{(12, 15), (12, 21), (15, 21), (15, 25)\} \]