якщо \( |\overrightarrow{\mathrm{p}}|=4,|\overrightarrow{\mathrm{q}}|=1,(\overrightarrow{\mathrm{p}}, \overrightarrow{\mathrm{q}})=45^{\circ} \). 43. Дано векторь \( \bar{a}=4 \bar{i}-\bar{j}-3 \bar{k} \quad \bar{b}=-\bar{i}+5 \bar{j}+3 \bar{k} \). Знайти їх скалярний та векторний добутки.

Для нахождения скалярного и векторного произведений векторов \(\bar{a}\) и \(\bar{b}\), сначала запишем их векторные компоненты: \[ \bar{a} = 4 \bar{i} - \bar{j} - 3 \bar{k} = (4, -1, -3) \] \[ \bar{b} = -\bar{i} + 5 \bar{j} + 3 \bar{k} = (-1, 5, 3) \] ### Скалярное произведение Скалярное произведение двух векторов \(\bar{a}\) и \(\bar{b}\) вычисляется по формуле: \[ \bar{a} \cdot \bar{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \] Подставим значения: \[ \bar{a} \cdot \bar{b} = (4)(-1) + (-1)(5) + (-3)(3) \] \[ = -4 - 5 - 9 = -18 \] ### Векторное произведение Векторное произведение двух векторов \(\bar{a}\) и \(\bar{b}\) вычисляется по формуле: \[ \bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & -1 & -3 \\ -1 & 5 & 3 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель: \[ \bar{a} \times \bar{b} = \bar{i} \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} - \bar{j} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + \bar{k} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} \] Теперь вычислим каждый из определителей: 1. \(\begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (-1)(3) - (-3)(5) = -3 + 15 = 12\) 2. \(\begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (4)(3) - (-3)(-1) = 12 - 3 = 9\) 3. \(\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = (4)(5) - (-1)(-1) = 20 - 1 = 19\) Теперь подставим результаты обратно в формулу для векторного произведения: \[ \bar{a} \times \bar{b} = 12 \bar{i} - 9 \bar{j} + 19 \bar{k} \] ### Ответ Скалярное произведение: \[ \bar{a} \cdot \bar{b} = -18 \] Векторное произведение: \[ \bar{a} \times \bar{b} = 12 \bar{i} - 9 \bar{j} + 19 \bar{k} \]