Calcule la longitud de las siguientes curvas: \( x=3 t-t^{3}, \quad y=3 t^{2}, \quad 0 \leq t \leq 2 \)

Para calcular la longitud de la curva dada por las ecuaciones paramétricas \( x=3t-t^{3} \) y \( y=3t^{2} \) en el intervalo \( 0 \leq t \leq 2 \), utilizaremos la fórmula de la longitud de una curva paramétrica: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} dt \] Donde: - \( x = 3t - t^{3} \) - \( y = 3t^{2} \) - \( a = 0 \) - \( b = 2 \) Primero, calculamos las derivadas de \( x \) y \( y \) con respecto a \( t \): \[ \frac{dx}{dt} = 3 - 3t^{2} \] \[ \frac{dy}{dt} = 6t \] Sustituimos estas derivadas en la fórmula de la longitud de la curva y evaluamos la integral en el intervalo dado. Vamos a calcular esto. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{0}^{2} \sqrt{\left(3-3t^{2}\right)^{2}+\left(6t\right)^{2}} dt\) - step1: Add the terms: \(\int_{0}^{2} \sqrt{9+18t^{2}+9t^{4}} dt\) - step2: Evaluate the power: \(\int_{0}^{2} 3\left(1+t^{2}\right) dt\) - step3: Simplify: \(\int_{0}^{2} 3+3t^{2} dt\) - step4: Evaluate the integral: \(\int 3+3t^{2} dt\) - step5: Use properties of integrals: \(\int 3 dt+\int 3t^{2} dt\) - step6: Evaluate the integral: \(3t+t^{3}\) - step7: Return the limits: \(\left(3t+t^{3}\right)\bigg |_{0}^{2}\) - step8: Calculate the value: \(14\) La longitud de la curva dada por las ecuaciones paramétricas \( x=3t-t^{3} \) y \( y=3t^{2} \) en el intervalo \( 0 \leq t \leq 2 \) es de 14 unidades.