Simplifica la siguiente expresión racional y exprésala en forma desarrollada. \( \frac{81 y^{2}-169}{9 y^{2}-22 y+13}= \) Cuáles valores reales de \( y \) hacen que la expresión to esté definida? A todas las respuestas adecuadas: \( y=2 \) B \( y=1 \) C \( y=\frac{13}{9} \) D \( y=-\frac{9}{13} \) D

Para simplificar la expresión racional \( \frac{81 y^{2}-169}{9 y^{2}-22 y+13} \), primero factorizamos tanto el numerador como el denominador. ### Paso 1: Factorizar el numerador El numerador es \( 81y^2 - 169 \), que es una diferencia de cuadrados: \[ 81y^2 - 169 = (9y)^2 - (13)^2 = (9y - 13)(9y + 13) \] ### Paso 2: Factorizar el denominador El denominador es \( 9y^2 - 22y + 13 \). Para factorizarlo, buscamos dos números que multiplicados den \( 9 \cdot 13 = 117 \) y sumados den \( -22 \). Los números son \( -9 \) y \( -13 \): \[ 9y^2 - 22y + 13 = 9y^2 - 9y - 13y + 13 = 9y(y - 1) - 13(y - 1) = (9y - 13)(y - 1) \] ### Paso 3: Sustituir las factorizaciones en la expresión Ahora sustituimos las factorizaciones en la expresión original: \[ \frac{81y^2 - 169}{9y^2 - 22y + 13} = \frac{(9y - 13)(9y + 13)}{(9y - 13)(y - 1)} \] ### Paso 4: Cancelar factores comunes Podemos cancelar el factor \( (9y - 13) \) en el numerador y el denominador, siempre que \( 9y - 13 \neq 0 \) (es decir, \( y \neq \frac{13}{9} \)): \[ \frac{(9y + 13)}{(y - 1)} \quad \text{para } y \neq \frac{13}{9} \] ### Paso 5: Expresar en forma desarrollada La expresión simplificada es: \[ \frac{9y + 13}{y - 1} \] ### Paso 6: Determinar los valores de \( y \) que hacen que la expresión esté definida La expresión está definida siempre que el denominador no sea cero. Por lo tanto, debemos resolver: \[ y - 1 \neq 0 \implies y \neq 1 \] Además, también debemos considerar el factor que cancelamos: \[ 9y - 13 \neq 0 \implies y \neq \frac{13}{9} \] ### Resumen de los valores que hacen que la expresión esté definida La expresión está definida para todos los valores de \( y \) excepto \( y = 1 \) y \( y = \frac{13}{9} \). ### Respuesta a las opciones - A \( y = 2 \): **Definido** - B \( y = 1 \): **No definido** - C \( y = \frac{13}{9} \): **No definido** - D \( y = -\frac{9}{13} \): **Definido** Por lo tanto, los valores que hacen que la expresión esté definida son \( y = 2 \) y \( y = -\frac{9}{13} \).